《2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)(1)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）在2017个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017个数中有 个三位数2（10分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x代表的数字为 3（10分）用x表示不超过x的最大整数，例如10.210则+等于 4（10分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变
2、成原来的5倍，总球数将会变成原来的2倍如果将白球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的 倍5（10分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 个6（10分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形正方形边长和三角形直角边长都是整数若剪去部分的总面积为40平方厘米，则长方形的面积是 平方厘米7（10分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场从家到商店距离是500米，用了7分钟； 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟； 从游乐场到学校的距离是300米，走的速度是60米/分钟那么小龙从家到学校的平均速度是 米/分钟8（10分）亚瑟王在王宫中召
3、见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有 种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）二、简答题（每小题15分，共60分）9（15分）如图所示，两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCDG为DE的中点连接BG交EF于H求图中五边形CDGHF的面积10（15分）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直
4、追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？11（15分）如图，一个边长为3的正六边形被3组平行于其边的直线分割成边长为1的54个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？12（15分）将1至9填入图的网格中要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1（10分）在2
5、017个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这2017个数中有2016个三位数【分析】按题意，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，不难求得三位数的个数【解答】解：根据分析，2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有2个或2个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有1个两位数，而三位数的个数即为：201712016个故答案是：20162
6、（10分）如图（1）所示，一个棋子从A到B只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x代表的数字为2【分析】首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可【解答】解：依题意可知：路线如图所示：x2满足条件故答案为：23（10分）用x表示不超过x的最大整数，例如10.210则+等于6048【分析】本题考察高斯取整观察式子可知首位两项，内的数相加等于2017，又因为当x不是整数时，x+2017x2016，故两两相加，可以得到答案【解答】解
7、：因为2017和11是质数，所以内的数据都不是整数，则+201712016，同理可得+2016，+2016，所以原式2016+2016+20166048故填：60484（10分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的2倍如果将白球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的4倍【分析】将黑球数量变成原来的5倍，总球数将会变成原来的2倍，黑球数增加4倍，总球数增加1倍，也就是黑球个数的4倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的413倍；把黑球数看成1份，白球数就是5份，总球数就是4份；再根据白球数变成原来的5倍，也就是增加4倍，即增加3412份，这总球数就是12+
8、416份，用16份除以原来的4份，即可求出总球数变成原来的几倍【解答】解：把黑球看成1份，则白球是3份，总球数是4份；当白球变成原来的5倍，就是增加4倍，即增加3412份（12+4）44可以画图如下：答：总球数将会变成原来的 4倍故答案为：45（10分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有5个【分析】显然，奇数只能被奇数整除，故这个奇数的数字之和一定为奇数，因这个两位数个位上为奇数，故十位上只能是偶数，从而得知此奇数十位上只能是1、3、5、7、9，而且此奇数不能是质数，故要排除掉质数，从而最后确定奇数的个数【解答】解：根据分析，符合题意的奇数十位上只能是：2、4、6、8，再排除掉质数后，
9、只剩下：21、25、27、45、49、63、65、69、81、85、87，一一检验，排除掉25、49、65、69、85、87，故符合题意的奇数为：21、27、45、63、81，共5个故答案是：56（10分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形正方形边长和三角形直角边长都是整数若剪去部分的总面积为40平方厘米，则长方形的面积是24平方厘米【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形，两个小等腰直角三角形可组成一个小正方形，可设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b，则根据题意可知a2+b240，又因正方形边长和三角形直角边长都是整数，
10、可根据22+6240知大等腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少，进而可求出原正方形的边长，再用原正方形的面积减去40可求出长方形的面积是多少，据此解答【解答】解；设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为ba2+b24022+6240可知大等腰直角三角形的直角边是6厘米，小等腰直角三角形的直角边是2厘米原正方形的面积：（6+2）（6+2）8864（平方厘米）644024（平方厘米）答：长方形的面积是24平方厘米故答案为：247（10分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场从家到商店距离是500米，用了7分钟； 从商店到游乐场以80米/分钟的速度要走8分钟； 从游乐场
11、到学校的距离是300米，走的速度是60米/分钟那么小龙从家到学校的平均速度是72米/分钟【分析】首先根据：路程速度时间，用从商店到游乐场的速度乘用的时间，求出从商店到游乐场的路程是多少，进而求出小龙从家到学校的路程是多少；然后根据：时间路程速度，用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度，求出从游乐场到学校用的时间是多少；最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间，求出小龙从家到学校的平均速度是多少即可【解答】解：（500+808+300）（7+8+30060）（500+640+300）（7+8+5）14402072（米/分钟）答：小龙从家到学校的平均速度是72米/分钟故答案为：728（10分）亚瑟王
12、在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有6种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可【解答】解：为方便起见，分别用数字1、2、3、4、5、6代表6个人，则1的朋友为2和6，即和1相邻的只能是3，4，5由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以1开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从
13、3，4，5中选，那么以1为基准可排的座位顺序为：（1）若第二位选3，则第三位选5或6，若第三位选5，则第四位只能选2，还剩下4和6，由于最后一位只能是3，4，5，则第五位选6，第六位选4，即1，3，5，2，6，4；若第三位选6，还剩下2，4，5，若第四位选2，则剩下4和5，相邻，不符合题意，且6和5相邻，因此第四位选4，则第五位选2，第六位选5，即1，3，5，2，6，4；（2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3和1，4，2，6，3，5，（3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即1，5，2，4，6，3，和1，5，3，6，2，4共计6种故答案为：6二、简答题（每
14、小题15分，共60分）9（15分）如图所示，两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCDG为DE的中点连接BG交EF于H求图中五边形CDGHF的面积【分析】G为DE的中点，所以EG623，因EG：AGEH：AB，可求出EH的长度，再根据三角形的面积公式可求出三角形EHG的面积，用正方形的面积减去它的面积，就是阴影部分的面积，据此解答【解答】解：G为DE的中点EG623EG：AGEH：AB3：（6+3）EH：6 3：9EH：6 9EH36 EH26632236333答：图中五边形CDGHF的面积是3310（15分）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为990米，乌龟跑了多远，剩余的路程就是兔子睡觉时乌龟跑的路程【解答】解：首先根据兔子的速度是乌龟的5倍可知，兔子跑的路程是乌龟的5倍当他们都不休息时兔子跑全程的100010990（米）；乌龟跑的路程是9905198（米）；兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000198802（米）答：兔子睡觉期间乌龟跑
