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1、 第3章不等式复习教案 教学设计整体设计教学分析 本章知识网络本章复习建议本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等1充分认识不等式的地位与作用不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无
2、一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合2加深对不等式性质的理解不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习
3、中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如ab，c0?acbc(忘了c0)，a bc d? acbd(忘了a、b、c、dR)等等3加强等价变换在解不等式中的运用解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集4注重在证明不等式中推理论证能力的提高
4、不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等5解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简二是加强“三个二次结合”的深刻理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，
5、它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高6不等式的应用是本章的重点不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题对于第一个方面，要求学生运算准确第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了
6、解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习三维目标 1通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式ab2ab(a0，b0)的应用方法
7、与技巧2通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力3通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观重点难点 教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型一元二次不等式、二元
8、一次不等式(组)、均值不等式的概念、方法及应用2深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识3掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课思路2.(问题导入)先让学生结合本
9、章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课推进新课新知探究提出问题 1 本章共研究了几种不等式模型？不等式有哪些性质？ 2 怎样求解一元二次不等式的解集？怎样画一元二次不等式的程序框图？ 3 均值不等式ab2ab的应用条件是什么？主要用它来解决哪些问题？ 4 “三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式ab2ab(a0，b0)由
10、实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式ab2ab(a0，b0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象 ax2bxc0的根x1,2b2ax1x2b2a? ax
11、2bxc0的解集ax2bxc0的解集由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解应用示例例1已知集合Ax|x22x80，Bx|x2|3，Cx|x22mxm210，mR若(1)AC ，(2)AB C，分别求出m的取值范围活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评解：(1)Ax|4x2，Bx|x1或x5，Cx|m1xm1，欲使AC ，只需m12或m14.m3或m5.(2)欲使AB C，ABx|1x2，只需m11，m12，即m2，m1，即1m2.点评：本例体现了一元二次不等式与集
12、合的交汇变式训练 设集合Ax|(x1)23x7，xR，则集合AZ中有_个元素答案：6解析：由(x1)23x7可得1x6，结合题意可得A(1,6)例2若正数x、y满足6x5y36，求xy的最大值活动：均值不等式的功能就是“和积互化”通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式解：x、y为正数，则6x、5y也是正数，6x5y26x 5y30xy，当且仅当6x5y时，取“”6x5y36，则30xy362，即xy545.xy的最大值为545.点评：本例旨在说明均值不等式的应用事实上，6x5y36，y366x5.代入xy，得xyx 15(366x)65
13、x2365x(x0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨变式训练 已知2x3y2(x0，y0)，则xy的最小值是_解法一：由x0，y0，得22x3y22x 3y.xy6，当且仅当2x3y1，即x2，y3时，xy取得最小值为6. 解法二：令2x2cos2，3y2sin2，( 0，2)，x22cos2，y32sin2.x y64sin2cos26sin22.sin221，当且仅当4时等号成立，这时x2，y3. xy的最小值是6. 解法三：由2x3y2，得y3x2x2.xy3x22 x1 (x1)
14、令x1t，t0，xt1.3x22 x1 3 t1 22t32(t1t2)32(2t 1t2)6.当且仅当t1时等号成立，即x11，x2.xy有最小值6.答案：6例3不等式axx11的解集为x|x1或x2，求a.活动：本例不是一元二次不等式，但 可转化为一元二次不等式的形式来思考训练学生的等价转化能力解法一：将axx11化为 a1 x1x10，即(a1)x1(x1)0.由已知，解集为x|x1或x2可知a10，(1a)x1(x1)0.(1a)x10，x11a.于是有11a2.解得a12.解法二：原不等式转化为(a1)x1(x1)0，即(a1)x2(2a)x10.依题意，方程(1a)x2(a2)x10的两根为1和2，11a2，a2a13，解得a12.点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义变式训练 若关于x的不等式xax10的解集为(，1)(4，)，则实数a_.答案：4 例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的
