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1、历届真题专题【2011年高考试题】一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要【答案】B3. (2011年高考山东卷理科10)已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【答案】B【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,故函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为7个,选B.6(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）
2、2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）答案： D解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）A B C D 【答案】B解析：由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A） （B）4 （C） （D）6【解析】由题意知,若,即时,
3、 ;当,即或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.14. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 A. B. C. D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.15. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 A. B. C. D. 17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 A. 1 B. C. D. 答案：D解析：将代入中，得到点的坐标分别为，从而对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D评析：本小题
4、主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.18(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则，所以选B.20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是10ln2（太贝克/年），则M(60)=A.5太贝克B.75ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克答案：.D解析：因为，故其变化率
5、为，又由故，则，所以选D.21(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A） (B) (C) (D) 解析：选D。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D26 (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1 【答案】A【解析】： ，切线方程为由 则 故选A27(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=
6、，则= (A) - (B) (C) (D)30(2011年高考上海卷理科16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A B C D【答案】A【解析】由偶函数,排除B;由减函数,又排除B、D，故选A.二、填空题:1. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2a3b4时，函数的零点 .【答案】2【解析】2.得。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。4(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则 【答案】1【解析】5. (2011年高考四川卷理科13)计算 .答案：解析：.6. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例
7、如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题： 函数=（xR）是单函数； 若为单函数， 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.9(2011年高考安徽卷江苏11)已知实
8、数，函数，若，则a的值为_12(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。【答案】【解析】本小题考查函数的性质.三、解答题:1. (2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建 （II）由（I）得由于当令所以 （1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时 解得 由（）知
9、 令 则，且又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时 当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增。所以要使对恒成立，3(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a0，证明：当0x时，f（+x）f（-x）；（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（ x0）0.解析：(I)f(x)的定义域为(0,+),若a0，所以f(x)在(0,+)单调增加；若a0，则由得，且当时，当时，所以f(x)在单调增加
10、，在单调减少.（II）设，则，4(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。【解析】：（1） 当时，由得解得由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：x+0-0+极大值极小值所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。（2） 因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1
11、)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。解：（）设动点M的坐标为，则依题意：，由此可得，即曲线C的方程为：()设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线
12、方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。解：（），由题意知：即（）由（）知，所以，设则，如果，由知，当时， ，而故，由当得：从而，当时，即如果，则当，时，而；得：与题设矛盾；如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾； 综合以上情况可得：7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函
13、数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.（）解:,令,解得.当变化时, 的变化情况如下表:+0-极大值所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.（）证明: 当时，.由（）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,取,则,所以存在，使.（）证明:由及（）的结论知,从而在上的最小值为.又由,知.故,即,从而.8(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得（2）由得，又，所以，所以函数在上单调增，在上单调减，又，因为，所以，所以，所以最大值为本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）. 移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时，写出的表达式
