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1、广东省中山市2006-2007第一学期期末统一考试理科数学试卷本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分. 共100分，考试时间100分钟.第I卷（选择题共40分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3考试结束，将答题卡与第卷交回.一、选择题（每小题5分，共40分；每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把所选项前的字母填涂在答题卡上）1在复平面内复数对应的点位于A一、三象限的角平分线上 B二、四象
2、限的角平分线上C实轴上 D虚轴上2A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件3已知的值等于 A B C D4为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是A20 B30 C40 D505已知在等差数列中,若，则n的最小值为A60 B62 C70 D726已知是周期为2的奇函数，当时，设则ABCD7已知函数的图像的一部分如图，则图的函数图像所对应的函数解析式可以为 A B C D 8若函数的图象如图所示，则m的取值范围
3、为A B CD学校 班级 座号 姓名 统考考号 密 封 线 内 不 要 答 题 中山市高三级20062007学年度第一学期期末统一考试数学科试卷（理科）第II卷（非选择题共60分）题 号二1516171819总分总分人复分人得 分评卷人二、填空题（每小题5分，共30分）9cos2+= 10 （精确到0.001）否结束输出m输入N开始A=CONRND（-1，1）B=CONRND（-1，1）否是是11已知向量若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为 12设，且=6，则的最大值为 （2分）；的最大值为 （3分）13用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰好有一个偶数夹在
4、两个奇数之间的五位数共有_个.14下列程序框图可用来估计的值（假设函数CONRND（-1,1）是产生随机数的函数，它能随机产生区间(-1,1)内的任何一个实数）如果输入1000，输出的结果为788，则由此可估计的近似值为 （保留四位有效数字）得 分评卷人三、解答题（共80分解答题应写出推理、演算步骤）15. （本题满分13分）已知:f(x)=2acos2x+asin2x+a2(aR,a0为常数).（1）若xR,求f(x)的最小正周期；（2）若xR时，f(x)的最大值小于4，求a的取值范围.16（本题满分13分）求函数的极值和单调增区间17（本题满分12分）设在15个同类型的零件中有两个次品，每
5、次任取一个，共取3次，并且每次取出后不再放回若以X表示取出次品的个数，（1）求X的的分布列；（2）求X的期望EX和方差DX 18（本题满分14分）ABCDP如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值19（本题满分14分）已知是定义在上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x, y, f (x)都满足 （1）求f (1)、f (-1)的值；（2）判断f (x)的奇偶性，并说明理由；（3）证明:（为不为零的常数）20（
6、本题满分14分）甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶器往乙容器倒入4克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行 求操作次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？ 欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？参考答案一、选择题： DADC BDBB二、填空题：917 1065.944 11 12； 1328 143.152三、解答题（共80分解答题应写出推理、演算步骤）15解：（1）由已知，有 f(x)=a(1+cos 2x)+ 2分 =2asin(2x+6分 最小正周期为；7分 （2）依题意得：9分 解得：0a1或 a的取值范围
7、为：(0,1) 13分16解： ，2分令得 4分当变化时，的变化如下表： +0-0+极大值极小值7分因此，当时，有极大值，极大值为；9分 当时，有极小值，极小值为11分的单调增区间为及 13分17解：6分X012p故X的分布列为：8分从而X的期望EX和方差DX分别为：；10分12分18解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCAB1分CD平面PAB，平面PAB，CDAB2分又，AB平面PCB 4分(II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角6分由（）可得ABBC，CFAF 由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，
8、8分异面直线PA与BC所成的角为9分（III）取AP的中点E，连结CE、DEPC=AC=2， CE PA，CE=CD平面PAB， 由三垂线定理的逆定理，得 DE PA为二面角C-PA-B的平面角11分由(I) AB平面PCB，又AB=BC，可求得BC=在中，PB=， 在中， cos=13分二面角C-PA-B大小的余弦值为14分解法二：（I）同解法一4分(II) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系5分则（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）6分，7分 则+0+0=2 = 8分 异面直线AP与BC所成的角为9分（III）设平面PA
9、B的法向量为= (x，y，z)，则 即解得 令= -1, 得 = (，0，-1)11分 设平面PAC的法向量为=()， 则 即解得 令=1, 得 = (1，1，0)13分 = 二面角C-PA-B大小的余弦值为14分19解：（1）对任意x,y都有，令x=y=1时，有，f (1)=0 ；2分令x=y=1时，有f (1)=0 4分（2）f(x)对任意x，y都有令x=t，y=1,有6分将代入得，7分函数是上的奇函数8分（3）用数学归纳法：当n=1时，左边=，右边=，等式成立9分 假设当n=k时，等式成立，即， 10分则当n=k+1时，有=这表明当n=k+1时等式也成立13分 综上可知，对任意正整数，等式成立14分20解：（1）设操作次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为、克，则，1分 ，2分 又 ，4分且，5分 6分 ，是首项为，公比为的等比数列，8分， 10分（2）依题意：，11分 （或 ）13分又为自然数，的最小值为3，故至少3次能达到要求14分10
