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1、 江苏省海安高级中学2020届高三第二次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合，则_.2.已知（为虚数单位），则复数_.3.命题“”的否定是_.4.袋中有形状和大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球现从中一次随机摸出两只球，则这两只球颜色不同的概率为_.5.“”是“”的_条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）6.设等比数列的前项和为.若，则的值为_.7.若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_.8.若函数 (R，)满足，且的最小值等于，则的值为_.9.已知函数
2、是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若，则实数t的值为_.10.设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为_.11.已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，点A在点O，B之间，过A作平行于y轴的直线交函数的图象于C点，当BCx轴时，点A的横坐标为_.12.设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_.13.设为偶函数，且当时，；当时，.关于函数的零点，有下列三个命题：当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点；若，函数的零点不超过4个，则；对，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.其中，正确命
3、题的序号是_.14.已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.16.（本小题满分14分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.17.（本小题满分14分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，（e是自然对数的底数）.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.（本小题满分16分）已知矩形纸片中，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形
4、的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.（1）将l表示成的函数，并确定的取值范围；（2）求l的最小值及此时的值；（3）问当为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.AMBNCDE19.（本小题满分16分）已知函数.若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若a，且a0，证明：函数有局部对称点；（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.20.（本小题满分16分）已知函数.（1）求函数的零点；（2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；（3）若，且不等式对一切正
5、实数x恒成立，求k的取值范围.数学21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修42：矩阵与变换已知矩阵的一个特征向量为，A的逆矩阵对应的变换将点变为点.求实数a，k的值.C.（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图，在正四棱锥中，点M，N分别在线段和
6、上，.（1）若，求证：；（2）若二面角的大小为，求线段的长度.23.（本小题满分10分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”.（1）当时，记，求的分布列及数学期望；（2）当，时，求且的概率.江苏省海安高级中学2020届第二次学测参考答案数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：充分不必要6.答案：-27.答案：8.答案：19.答案：10.答案：21l.答案：12.答案：13.
7、答案：14.答案：二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）解：（1）因为，所以.当即时，；2分当即时，；4分当即时，.6分（2）由得，8分当即时，M中仅有的整数为-3，所以，即；10分当即时，M中仅有的整数为-2，所以时，即；12分综上，满足题意的k的范围为14分16.（本小题满分14分）解：（1）因为，所以2分又，故，从而，4分所以6分（2）由（1）得，故，所以8分因为，且，所以，解得，因为，所以，从而，所以12分故14分17.（本小题满分14分）解：（1）因为，当时，解得；2分当时，有，由-得，.而，所以，4分即数列是公差为1的等差数列，故6分又因为，且，取自然对数
8、得，又因为，所以，所以是1为首项，以2为公比的等比数列，所以，即8分（2）由（1）知，10分所以，减去得：，所以14分18.（本小题满分16分）解：（1）.故.因为，所以，2分从而4分又，所以，所以6分（2）记，则.记.记，则，令.所以在上单调递增，在上单调递减，8分故当时取最小值，此时，的最小值为.10分（3）的面积，从而设，12分记令.在上单调递增，在上单调递减，故当，记时，面积取最小值为15分答：略16分19.（本小题满分16分）解：（1）由得，代入得，2分得到关于x的方程，由于且，所以，所以函数必有局部对称点4分（2）方程在区间上有解，于是，设，所以6分令，则，当时，故函数在区间上单调
9、递减，同理函数在区间上单调递增，所以，所以10分（3），由于，所以于是（*）在R上有解，12分令，则，所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：即，得16分20.（本小题满分16分）解：（1）令，所以.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以，所以的零点为2分（2）因为，所以，4分要证，即证，即证，令6分由（1）知，当且仅当取等，所以，即，所以原不等式成立.8分（3）不等式对一切正实数x恒成立.因为10分设.记，当，即时，恒成立，故单调递增.于是当时，又，故，当时，又，故，又当时，.因此当时，对一切正实数x恒成立.12分当，即时，设的两个不等实根分别为.又，于是.故当时，从而在在单调递减
10、；当时，此时，于是，即，舍去；15分综上，k的取值范围是.16分数学21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分.B.选修4-2：矩阵与变换解：设特征向量为对应的特征值为，则，即，因为，所以.5分因为，所以，即，所以，解得，综上，.10分C.（选修4-4：坐标系与参数方程）解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径的圆，4分直线方程的普通方程为，6分圆C的圆心到直线的距离，8分故直线被曲线C截得的线段长度为10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.（本小题满分10分）证明：连接交于点O，以为x轴正方向，以为y轴正方向，为z轴建立空间直角坐标系.因为，则.（1）由，得，由，得，所以.因为，所以.4分（2）因为M在上，可设，得.所以设平面的法向量，由，得，其中一组解为，所以可取8分因为平面的法向量为，所以，即，解得，从而，所以10分23.（本小题满分10分）解：（1）的取值为3，-1，1，3，又因为；1分故，；，3分所以的分布列为：-3-113所以；5分（2）当时，即答完8题后，正确的题数为5题，错误的题数是3题，6分又已知，第一题答对，若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题
