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1、皖东县中联盟20192020学年第一学期高三期末联考理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3.若，则（ ）A. B. C. D. 4.在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（ ）A. B. C. D. 5.在等比数列中，前三项和，则公比（ ）A. 1或B. 1或C. 1或D. 1或6.执行如图所示程序框图，输出的结果为（ ）A. 2B. 1C. 2D. 37.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发
2、明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 8.设，则（ ）A. B. C. D. 9.五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研
3、读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（ ）A. 360B. 240C. 150D. 9010.如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）A. B. C. D. 11.已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（ ）A. B. 8C. 6D. 12.已知函数（），若不等式仅有两个整数解，则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，满
4、足，若，则与的夹角为_.14.一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐个馒头，小和尚每餐每人吃个馒头.若大和尚的人数用表示，则_.15.已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为_.16.已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和，满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和.18.在中，角，对边分别为，满足.（1）求的值；（2）若，则的面积的最大值.19.如图，多面体中，平面平面，四边形为平行四边形.（1）证明：；（
5、2）若，求二面角的余弦值.20.已知椭圆：（）一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过焦点直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.21.为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：（1）根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数；（2）若记职员的工作业绩的月平均数为.已知该公司还有6位职员的业绩在100以上，分别是，在这6人的业绩里随机抽取2个数据，求恰有1个数据满足（其中）的概率；由于职员的业绩
6、高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了9张卡片，其中有1张卡片上标注奖金为6千元，4张卡片的奖金为4千元，另外4张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从9张卡片中随机抽出3张，这3张卡片上的金额数之和就是该职员所得奖金.记职员获得的奖金为（千元），求的分布列和期望.22.已知函数.其中.（1）讨论函数的单调性；（2）函数在处存在极值1，且时，恒成立，求实数的最大整数.答案与详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】利用复数的除法运算即
7、可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】先分别求出集合，由此能求出.【详解】解：集合，故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题.3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦即可求解.【详解】因为，所以为第二或第四象限的角；若为第二象限的角，则，；若为第四象限的角，则，.故.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4.在内部
8、任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】首先确定点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可.【详解】如图取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点，连结，当点在线段上运动时，的面积与的面积的比值等于，当点在图中阴影部分运动时，的面积与的面积的比值大于，因为，且相似比为，故使得的面积与的面积的比值大于的概率，故选：D.【点睛】本题考查面积型几何概型，是基础题.5.在等比数列中，前三项和，则公比（ ）A 1或B. 1或C. 1或D. 1或【答案】C【分析】分类当符合题意，当时，可得和的方程组，解方程组即可.【详解】当时，各项
9、均为，可得，符合题意；当时，解得，综上可得公比的值为：1或 故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. 2B. 1C. 2D. 3【答案】D【分析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，当时满足条件，退出循环，输出为3.【详解】由题意模拟执行程序时，第一次循环，此时不满足；第二次循环，此时不满足；第三次循环，此时不满足；第四次循环，此时满足；故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7.水车是一种利用水流动力进行灌溉工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造
10、自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】由题意求出，再由三角函数的定义即可求解.【详解】由，解得， 设圆的圆心为，由，则， 由正弦函数的定义可得经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.8.设，则（ ）A. B. C. D. 【答
11、案】C【分析】根据对数函数的单调性可得，再利用指数函数和幂函数的单调性知，从而比较出大小.【详解】；根据指数函数和幂函数的单调性知，故.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9.五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（ ）A. 360B. 240C. 150D. 90【答案】C【分析】分两步，第一步分类讨论，求出2
12、人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.【详解】先分堆再分配第一步分堆分两类和，则分堆方法有种；第二步分配给三名学生有种分法；由分步计数乘法原理得：种.故选：C.【点睛】本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.10.如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.【详
13、解】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，所以，又，则，球的半径，所以.故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.11.已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（ ）A. B. 8C. 6D. 【答案】B【分析】直线：过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出最大距离以及，进而可得的面积.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径，当时，圆心到直线的距离最大，即直线方程为，则，到直线的距离为，则到直线最大距离，此时的面积，故选：B.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当时，圆心到直线的距离最大是关键，是中档题.
14、12.已知函数（），若不等式仅有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】根据题意求出，令可得，讨论的取值范围，求出函数的单调区间，由题意有两个整数解为1，2，由，可得且，解不等式组即可.【详解】已知，则，即，当时，单调递减，时，单调递增，且，则有两个整数解为1，2，所以且，解得，故选：C.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，满足，若，则与的夹角为_.【答案】分析】根据向量的夹角公式计算即可.【详解】由知，又，即则，所以，故夹角为，故答案为：.【点睛】本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.14.一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐个馒头，小和尚每餐每人吃个馒头.若大和尚的人数用表示，则_.【答案】【分析】设大和尚有人，则，解方程即可.【详解】设大和尚有人，则，即，当时，与生活实际不符，所以，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了列方程求函数解析式，属于基础题.15.已知双曲线：（，）的左
