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1、广东省珠海市金海岸中学高三数学复习专题讲座 圆锥曲线综合题高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的 (1)对于求曲线方程中参数
2、的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解 例1已知圆k过定点A(a,0)(a0),圆心k在抛物线C y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦 (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？命题意图 本题考查圆锥曲线
3、科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小 解 (1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的长不随圆心k的运动而变化 (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k (xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0，y1y2=y02a2|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 |OM|+|ON|=
4、|y1|+|y2|=2|OA|=2a 又|MN|=|y1y2|=2a， |y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20 0x0 圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径R=a 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交 例2如图，已知椭圆=1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值 命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合 知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式
5、，利用单调性求函数的最值 错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2m5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将|AB|CD|化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法 解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0) 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=,即x=m A(m,m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得 (m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得 (2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm
6、2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC= 又A、B、C、D都在直线y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5 (2)由f(m)=，可知f(m)= 又222，f(m)故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5 例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉
7、炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程 错解分析 答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚 技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解 对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程 解 取AB所
8、在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系 由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(3，0)、(5，2) 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC| 于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x3y+7=0 又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上 直线与双曲线的交点为(8，5)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10 据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30 设发射炮弹的仰角是，初速度v0=，则,sin2=,仰角=3
9、0 例4若椭圆=1(ab0)与直线l x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域 解 由方程组消去y,整理得(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),则有同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习1 已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于( )A 3 B C D 2 设u,vR，且|u|,v0,则(uv
10、)2+()2的最小值为( )A 4B 2 C 8D 23 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA=,则椭圆离心率的范围是_ 4 一辆卡车高3米，宽1 6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_ 5 已知抛物线y=x21上一定点B(1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范围是_ 6 已知直线y=kx1与双曲线x2y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围 7 已知抛物线C y2=4x (1)若
11、椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由 8 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求的取值范围 参考答案:1 解析 由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2)
12、 直线AC所在方程为x3y+2=0,点B到该直线的距离为d= m(1,4),当时，SABC有最大值，此时m= 答案 B2 解析 考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值 答案 C3 解析 设椭圆方程为=1(ab0),以OA为直径的圆 x2ax+y2=0,两式联立消y得x2ax+b2=0 即e2x2ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=a,0x2a，即0aae1 答案 e14 解析 由题意可设抛物线方程为x2=ay,当x=时，y=；当x=0 8时，y= 由题意知3,即a212a2 560 解得a的最小整数为13 答案 135 解
13、析 设P(t,t21)，Q(s,s21)BPPQ,=1,即t2+(s1)ts+1=0tR,必须有=(s1)2+4 (s1)0 即s2+2s30,解得s3或s1 答案 (,31,+)6 解 设A(x1,y1）,B(x2,y2) 由,得(1k2）x2+2kx2=0,又直线AB与双曲线左支交于A、B两点，故有解得k17 解 由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l x=1 (1)设P(x,y)，则B(2x1,2y),椭圆中心O,则|FO|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|d=e,|FO|BF|=|BF|d,即(2x2)2+(2y)2=2x(2x2),化简得P点轨迹方程为y2=x1(
14、x1) (2)设Q(x,y),则|MQ|=()当m1,即m时，函数t=x(m)2+m在(1，+)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值 ()当m1,即m时，函数t=x2(m)2+m在x=m处有最小值m,|MQ|min= 8 解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 曲线C的方程为+y2=1 (2)设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 =(20k)2415(1+5k2)0,得k2 由图可知=由韦达定理得将x1=x2代入得两式相除得M在D、N中间，1又当k不存在时，显然= (
