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1、函数的实际应用1某商人购货，进价已按原价a扣去25%。他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式。解：依题意，有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)25% 化简，得b=ay=b20%x=a20%x,即y=x(xN*)2学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分组（一组制课桌，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？解：设x名工人制课桌，(30-x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10
2、把椅子，制作100张课桌所需时间为函数P(x)=, 制作200把椅子所需时间为函数Q(x)=，完成全部任务所需的时间为y(x)=maxP(x), Q(x)为求得y(x)的最小值，需满足P(x)=Q(x)，即。解得x=125考虑到人数xN*，考查P(12)与Q(13)，P(12)=119, Q(13)=118，即y(12)y(13)，所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快。3有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务。（1）设由x部机器(x为不大于m的正整数)完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式；（2）画出所求函数当m=4时的图象。解：（1）一部机
3、器一小时完成这项任务的，x部机器一小时完成这项任务的，所以x部机器完成这项任务所需时间（小时）为y=，其中x为不大于m的正整数。（2）当m=4时, y=，x为1，2，3，4，对应的y值分别为16，8，4。这时函数的图象是四个点(1, 16)、(2, 8)、(3, )、(4, 4)。（图象从略）4. 一海轮航海时所耗燃料与其航速的平方成正比。已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其他费用为c元（与航速无关），若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用是多少？解：设航速为每小时v海里时，所耗燃料费为每小时x元，则a2
4、b2=v2x。x=v2。故航行d海里时，其总费用：m=。当航速满足，即v=时，总费用最小值是元。5. 利民商店经销各种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x包，已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5x元。（1）把该商店经销洗衣粉一年的利润y（元）表示为每次进货量x（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大，每次应该进货多少包？解：（1）若每次进洗衣粉x包，则全年共需进洗衣粉次，而全年所需运输劳务费是：62.5=元，而全年的保管费是1.5x元，所以全年的总利润为：y=(3.4-2.8)6000-1.5x=36
5、00-(+)，函数的定义域是：x|0400件.从第14天开始销售总量超过400件,即开始流行.设第x天的日销售量开始低于30件(),即,解得.从第22天开始日销量低于30件.21-13=8该服装流行的时间不超过10天.9. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台。已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时产值（千元）432问：每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台。由
6、题意得假定每周总产值为s千元，则s=4x+3y+2z。在限制条件、之下，求目标函数s的最大值。由、消去z，得y=360-3x,得（4）代入（1），得x+(360-3x)+z=360. z=2x. z60, x30。再将（4）、（5）代入s中，得s=4x+3(360-3x)+22x, 即s=-x+1080.故条件（6）及上式知，当x=30时，产值s最大，最大产值为s=-30+1080=1050（千元）。 将x=30分别代入（4）和（5），得y=360-90=270, z=230=60。每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元。10有m长的钢材，要做
7、成（如图2-5）所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形。试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体算出窗框面积的最大值。解：设小矩形长为x, 宽为y，则由图形条件可得：11x+x+9y=9y=-(11+)x要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则 S=当x=, y=即时（实际上xy=18(22-)11），此时窗框面积S有最大值。Smax=11某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)=其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数f(x);（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？
8、最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而（2）当0x40时，f(x)=-(x-300)2+25000,当x=300时，有最大值25000；当x400时，f(x)=60000-100x是减函数，f(x)60000-1004005时，只能售出5百台，故利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)=（2）当0x5时，L(x)=475x-05，当x=475时，得L(x)max=1078125万元。当x5时，L(x)12-125=1075（万元）。生产475台时利润最大。（3）由或得x475-01（百台）或x0，且p0得，定义域为(0, 12)
9、。（2）由y128，得60(80-p)p%128，化简得p2-12p+320, (p-4)(p-8)0，解得4p8。故当税率在4%，8%内时，政府收取税金将不少于128万元。（3）当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为：g(p)=60(80-p)(4p8)。g(p)为减函数，g(p)max=g(4)=3200（万元）。故当税率为4%时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于128万元。14某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产品x（百台），其总成本为G(x)（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本1万元（总成本=固定成本+生
10、产成本），销售收入R(x)（万元）满足R(x)=假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？（3）求盈利最多时每台产品的售价。解：依题意，G(x)=x+2，设利润函数为f(x)，则f(x)=（1）要使工厂有赢利，即解不等式f(x)0，当0x5时，解不等式-0.4x2+3.2x-2.80，即x2-8x+70。1x7. 15时，解不等式8.2-x0，得x8.2。5x8.2。综上，要使工厂赢利，x应满足1x5时，f(x)8.2-5=3.2，当工厂生产400台产品时，赢利最多。（3）即求x=4时每台的售价。此时售价为=2.4（万元/百台）=240元/台。15. 某地区预计2004年的前x个月内对某种商品的需求总量（万件）与月份x的近似关系式是，,，求；2004年的第x月的需求量g(x)（万件）与月
