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1、指数符号与根号的简单历史 指数符号 Sign of power 的种类繁多 且记法多样 化 我国古代数学家刘徽于 九章算术注 263年 内以 幂 字表示指数 且延用至今 现在使用的指数符号是在1637年由法国数学家笛卡尔 R Descartes 1596 1650 开始使用 十七世纪法国数学家笛卡尔 1596 1650年 第一个使 用了现今用的根号 数学符号是形成和发展数学理论的基本工具 代数符号 化使代数学的理论体系更严密 并且具有更广的普遍性和适 应性 代数的符号化是数学发展史上的里程碑 对数及其运算 学习目标 1 理解对数的概念 能进行指数式与对数式 的互化 2 理解对数式的底数和真数的
2、范围 3 掌握对数的基本性质 课前准备 复习回顾指数函数y ax 中为何定义a 0且 a 1 并举例说明 指数式 已知底数a和指数x 求N 思考一 幂运算 思考二 开方运算 已知指数x和幂N 求底数a 思考三 探究一 2010年我国国民生产总值为产总值为 a亿亿元 如果每年平均 增长长8 2 探究二 有关平均增长率问题 思考一 求5年后国民生产总值是2010年的多少倍 思考二 经过多少年国民生产总值是2010年的2倍 探究一思考三 探究二思考二归结为一个求解什么 的数学问题 已知底数和幂的值 求指数 1 8 x 2 求x 思考并交流 3分钟 对数出现的历史背景 对数产生于16 17世纪之交 航
3、海 天文 工程 贸易以及军事高速发展 航海人员为 确定船舶在大海中的航程与位置 天文工作者 为了处理观察行星运行所得数据都必须对数字 做烦杂的运算 对数就是适应这种需要而产生 的 奇怪的是 对数发明是在指数书写方法发 明之前完成的 一直到18世纪 瑞士数学家欧 拉才发现指数与对数的联系 他指出 对数源 于指数 并很快被人们所接受 如今人们先 学指数再学对数 但这并不符合它们发展的历 史顺序 对数是由英国人纳皮尔 Napier 1550 1617 创 立的 而对数 Logarithm 一词也是他所创造的 纳皮 尔在表示对数时套用logarithm整个词 并未作简化 对数的简单历史 1624年 开
4、普勒把词简化为 Log 奥特雷得在1647 年也用简化过了的 Log 1632年 卡瓦列里成了首个采用符号log的人 恩格斯曾把对数的发明 解析几何的创始 微积分 的建立称为17世纪数学的 三大成就 伽利略也说过 给我空间 时间及对 数 我就可以创造一个宇 宙 1定义 一般地 对于指数式 我们把x叫做以a为底N的对数 记作 底数对数真数 幂指数底数 指数式可以化成对数式 对数式可以化成指数式 两种特殊的对数 概念深化 1 对数式logaN可以看成幂的逆运算 2 对数式与指数式实际上是同一种关系的两种不 同体现形式 所以可以将对数问题转化为指数问 题来解决 新知导学问题3 方法与技巧 对数式与指
5、数式的结构转化务必要记住 例1 1 把下列指数式化成对数式 2 把对数式化 成指数式 题型二 对数及基本性质的应用 试卷例4 方法与技巧 对数式与指数式的结构转化务必要记住 1 指数函数y ax 中为何定义a 0且a 1 举例说明 并写成对数形式观察其是否成立 2 指数式ax N a 0且a 1 是不是所有的 实数都有对数 探究三 对数性质 1 负数与零没有对数 合作交流3分钟 例1 3 对数式 中 实数x的取值 范围是 对数成立的条件 探究四 自主求值 合作交流4分钟 思考 通过上面的例子 你发现什么 写出一 般性的结论 2 1的对数为0 即 3 底的对数等于1 即 4 对数的基本性质 题型三 对数求值 方法与技巧 求对数值的问题 利用性质难以观察 不妨设对 数值为x 再利用指对转换解方程 底数对底数 指数对以a为底N的对数 a b Nb log a N 指数式 对数式 幂值对真数 指对关系 2 特殊对数 1 负数与零没有对数 2 1的对数为0 即 3 底的对数等于1 即 4 3 重要性质 1 常用对数 以10为底的对数 lg N 2 自然对数 以 e 为底的对数 ln N 自主整理完成课 后拓展1 2 3 4 7
