《毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 资料 矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系 摘要 矩阵的特征值 特征向量以及它们的求解问题在代数学中具有重 要的意义 本文通过对其定义和性质的深入了解 总结出了三种求解方法 分别是特征方程法 初等变换法以及只对矩阵进行行列互逆变换即可同 时求出矩阵的特征值与特征向量的行列互逆变换法 这三种方法由浅 入深 计算过程由繁到简 最后把求矩阵特征特征值问题转化为数的四 则运算问题 避免了求高次方程根的难题 显示了其优越性 关键词 特征值 特征向量 初等变换 互逆变换 资料 目 录 1 引言 1 2 特征值与特征向量的定义及其性质 1 2 1 定义 1 2 2 性质 1 3 特征值与特征向量的求法 2
2、 3 1 特征方程法 2 3 2 初等变换法 3 资料 3 2 1 初等行变换法 4 3 2 2 初等列变换法 7 3 3 行列互逆变换法 9 4 总结 13 参考文献 14 资料 1 引言 物理学 力学 工程技术学中的许多问题在数学上都归结为求矩阵特 征值和特征向量问题 由特征方程求特征值 尤其是对阶较大的矩阵 是 比较困难的 而我们所掌握的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式 且只有先求特征值方可由方程组求特征向量 本文给出了只通过行变换 和列变换即可同时求出特征值和特征向量的方法 但仍未摆脱带参数行列 式的计算问题 最后通过对矩阵特征值和特征向量进行系统归纳 给出一 种只需进行行列互逆
3、变换即可同时求出特征值与特征向量的结论 简单快 捷 2 特征值与特征向量的定义及其性质 2 1 定义 设是阶方阵 如果存在实数和维非零向量 使得An nx 成立 则称为的特征值 是的对应特征值的特征向量 xAx AxA 2 2 性质 1 若是的重特征值 对应特征值有个线性无关的特征向 i A i rA i i s 量 2 若都是矩阵的属于特征值的特征向量 则当不全 12 x xA 0 12 k k 为零时 仍是的属于特征值的特征向量 1 122 k xk x A 0 3 若是矩阵的互不相同的特征值 其对应的特征向量分 n 21 A 别是则线性无关 21n xxx n xxx 21 4 若的特征
4、值为则 nn ij aA n 21 Aaaa nnnn 21221121 5 实对称矩阵的特征值都是实数 属于不同特征值的特征向量正交 A 资料 6 若是实对称矩阵的重特征值 则对应特征值恰好有个 i A i r i i r 线性无关的特征向量 7 设为矩阵的特征值 为多项式函数 则为矩阵多项 A xP P 式的特征值 AP 8 设为方阵的一个特征值 且为对应的特征向量 则对任何正 Ax 整数 为为的一个特征值且为对应的特征向量 一般地k k k Ax 对于任何多项式 则为方阵 01 axaxaxf m m f 的一个特征值 且为对应的特征向量 EaAaAaAf m m01 x 3 特征值与特
5、征向量的求法 3 1 特征方程法 用特征方程法求解的步骤为 1 求出矩阵的特征多项式A AEf 2 再求出特征方程在数域中的全部根 即在 AEf 0 PA 数域中的全部特征值 P 3 把所求的的每个特征值逐个地带入齐次线性方程组 i 中 求出齐次线性方程组的全部非零解 0 xAE i 0 xAE i 即一个基础解系便是的属于的线性无关 irii aaa 21 A ni i 1 的特征向量 则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性A i 组合 其中是不全为零的数 irrii akakak 2211r kkk 21 例 1 求矩阵的特征值和特征向量 122 212 221 A 解 先求 的特征多
6、项式A 资料 AE 122 212 221 51 2 故得特征值为A5 1 321 把代入中得 1 AE x0 0222 0222 0222 321 321 321 xxx xxx xxx 即0 321 xxx 它的一个基础解系为 故矩阵属于的全部特征向量 1 1 0 1 0 1 A1 为 不全为零 1 1 0 1 0 1 21 kk 21 k k 同理将代入得 5 0422 0242 0224 321 321 321 xxx xxx xxx 它的一个基础解系为 1 1 1 故属于的全部特征向量是 5 1 1 1 k 这种求矩阵的特征值的方法是通过求矩阵的特征方程AAAE 的根来实现的 而在求
7、特征方程的根的时候往往有一定的0 AE 0 难度 特别是当矩阵的阶数较高的时候难度更大 A 以下给出一种新方法 只用一种运算 矩阵运算 即在求的A 特征值时 特征矩阵进行 矩阵的初等变换 这种方法计算 EA 资料 量少 且运算规范 不易出错 3 2 初等变换法 定义 2 数域上矩阵的初等变换是指下列3 种变换 P 第一种 以中一个非零的数乘以矩阵的某一行 列 P 第二种 把矩阵的某一行 列 的倍加到另一行 列 k 第三种 互换矩阵中两行 列 的位置 a 3 2 13 2 1 初等行变换法初等行变换法 定理 1 对于齐次线性方程组 11mnmn OXA 1 其中 若 并且 nm ij aA T
8、i xX rAR mn nrnm n T P EA r n rm O D 一系列初等行变换 2 其中为上三角矩阵 并且 则中的行向量 rm D rDR rm nrn P 是方程组 1 的一组基础解系 表示的转置 rni i 2 1 T AA 表示的秩 表示阶单位矩阵 ARA n En 证明 对矩阵施行一系列初等行变换相当于左乘以一个可逆矩 n T EA 阵 由已知可得 C 资料 mrn rm T O D CA 3 nrn n P CE 4 由 4 可知 是行满秩 及其行向量线性无关 nrn P i rni 2 1 将 4 带入 3 得 mrn rm T n nrn O D AE P 即两边同时
9、进行转置得 mrn T nrn OAP 0 T AP 由此可知的行向量是方程组 1 的解 且是线P i rni 2 1 性无关的 所以即为方程组 1 的基础解系 证毕 定理 2 对任意方阵 特征矩阵经过行变换 可以A T AEF 化为上三角矩阵 且的主对角线上元素的乘积的多项式的根 G G 即为的特征值A 证明 显然 nnnn n n aaa aaa aaa F 21 22221 11211 nFR 首先考察的第 1 列 若不全为零 任取其一 记为 F 1 i a ni 2 1 通过行变换 将化为如下形式 若 1 d F H d 0 1 1 i a0 则本身即具有这种形式 ni 2 1 F 齐
10、次再考察的第一列 若不全为零 若全为零 则 则 H nER 可选次数最低的元素 记为 如上实施初等行变换 循环往复 2 f 资料 的次数有限 最后必将化为如下形式 继续对 1 f H J d 0 2 进行如上变换 则最终可化为 J F n d d d G 0 2 1 5 由以上可知 和等价 则和有相同的初等因子 于是 F G F G 该定义成立 定理 1 给出求解齐次线性方程组基础解系的一种方法 而定理2 实际 上给出了利用初等行变换求矩阵特征值的方法 下面具体给出利用初等 行变换求解矩阵特征值和特征向量的一般步骤 第一步 对方阵 设对做行变换 化成 A EF PD 6 其中为上三角矩阵 则主
11、对角线上的元素乘积的 D D 多项的根即为的特征值 A i 第二步 对矩阵的任一特征值代入 6 若中非零行向量构A i i D 成满秩矩阵则 行向量中零向量所对应的中的行向量 i D i P 即为的特征向量 否则 继续进行行变换 i i ii PD 使得中非零行向量构成满秩矩 行初等变换 iiPD iD 阵 则中零行向量所对应的中的行向量即为 iD iP i 的特征向量 i 资料 例 2 求矩阵的特征值与特征向量 1111 1111 1111 1111 解 4 EF 1000 0100 0010 0001 1111 1111 1111 1111 41 rr 0001 0100 0010 100
12、0 1111 1111 1111 1111 14 13 12 1 rr rr rr 1001 1100 1010 1000 2220 2200 2020 1111 24 rr 011 1100 1010 1000 12200 2200 2020 1111 3 4 rr 1111 1100 1010 1000 22000 2200 2020 1111 由得特征值 022 3 2 2 4321 当时2 321 2 2 PD 0000 0000 0000 1111 3111 1100 1010 1000 因的非零向量的行构成行满秩矩阵 且其最后的三个行向量是零向量 2D 故中的最后三个行向量 2P
13、T 1 0 1 0 1 T 1 1 0 0 2 是的线性无关的特征向量 T 3 1 1 1 3 1 2 32 资料 同理的线性无关的特征向量是中的最后一个向量2 4 2 P T 3 1 1 1 与初等行变换类似 通过对矩阵进行初等列变换也可求得其特征值和特征 向量 b 3 2 23 2 2 初等列变换法初等列变换法 定理 3 设是秩为的阶矩阵 且Armn rmm rmrnrn m mn P OB E A 列初等变换 其中是秩为的列满秩矩阵 则矩阵所含的个列向量就是齐次BrPrm 线性方程组的一个基础解系 证明略 0 AX 定理 4 矩阵的特征矩阵经列的初等变换可化为下A AEF 三角的矩阵 且
14、的主对角线上的元素乘积的多项式的根恰 B B 为的所有特征值 证明略 A 用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值和特征向量 基本步骤如下 第一步 作如下初等变换 P L E AE 列初等变换 7 其中为下三角矩阵 则的主对角线上元素的乘积的 L L 多项式的全部根恰为的所有特征值 A i 第二步 将代入 7 中 若中非零列向量构成列满秩矩阵 则 i i L 中和中零向量所对应的列向量是属于特征值的特 i P i L i 资料 征向量 否则 继续进行变换 其过程完全类似于行变换 这里 不再赘述 例 3 求矩阵的特征值与特征向量 A 0111 1011 1101 1110 解 4 E AE 1000
15、 0100 0010 0001 111 111 111 111 41 cc 0001 0100 0010 1000 111 111 111 111 0 14 12 13 cc cc cc 111 0100 0010 1000 111 1101 1011 0001 2 24 cc 1111 0100 1010 1000 2111 1101 0011 0001 34 cc 2111 1100 1010 1000 3111 0101 0011 0001 由得特征值 三重 0311 2 1 3 4321 当时3 1 资料 3 3 P B 1111 1100 1010 1000 0443 0401 00
16、41 0001 因的非零向量的列构成列满秩矩阵 且其最后的一个向量 3 1 BB 零向量 故中的最后一个列向量是的线性无关的特 3 1 PP T 1 1 1 1 3 1 征 向量 同理的特征量是中的最后三个列向量 32 1 4 1P 1 0 1 0 1 T 3 1 1 1 1 1 0 0 32 TT 用定理 3 和定理 4 可以同步求解矩阵的特征值和特征向量 研究了初等行变换和初等列变换求解特征值后 我们发现其过程比特征方 程法简便了许多 但其求解过程中仍要解带参数的行列式 那么还有没 有更简洁的方法呢 下面继续探讨 3 3 行列互逆变换法 定义 3 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换 1 互换两行 同时互换两列 ji ji 2 第 行乘非零数 同时第列乘 ikik 1 3 第 行倍加入第行 同时第列倍加入第列 ikjjk i 定理 5 为阶可对角化矩阵 并且An 资料 n T EA 一系列行列互逆变换 T PD 其中 n D 1 1 n T P inii bb 1 1ni 则为的全部特征值 为的对应的特征向量 n 1 A T ii A i 证明 由行初等变换等价于左乘初等阵 列变等
