《Banach不动点理论及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Banach不动点理论及其应用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、不动点定理及其应用综述摘要 本文主要研究Banach空间的不动点问题。1介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；23介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；4介绍了不动点定理在证明Fredholm积分方程和Volterra积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；5讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x和y在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的倍（）。它的数学定义为：定义1.1 设X是度量空间，T是X到X的映射，若存在，使得对所有，有下式成立 （1.1）则称T
2、是压缩映射。定理1.1（不动点定理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x有且只有唯一解。证明：设是X种任意一点，构造点列，使得 （1.2）则为柯西点列。实际上， （1.3）根据三点不等式，当时， （1.4）由于，故，得到 （1.5）所以当时，即为柯西列。由于X完备，使得，又由三点不等式，有 （1.6）上面不等式右端在时趋于0，故，即。不动点的唯一性：假设同时存在,有成立，则 （1.7）由于，所以必有，即。证毕。定理中的映射T是定义在整个X上的，但实际上有些问题中遇到的映射T只在X的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X上的闭
3、子集的不动点定理如下。定理1.2 设是完备的。T是的映射。若在X的闭球上T是压缩的，并且满足条件 （1.8）此处是满足的常数，则T在Y内有唯一的不动点。证明：Y作为内的闭集按X的距离成一完备距离空间，倘能证明，那么T就是上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取，令，则，可见，证毕。应用压缩映射原理需要注意的几个方面（1）根据证明可知，为了获取不动点，可以从X中的任意一点出发（2）在T满足 （1.9）的条件下，T在X上不一定存在不动点。例：令，T是从R到R的映射。设，则 （1.10）根据微分中值定理，必定存在，使得，故 （1.11）即，但是当时，方程无解，因此，映射T没有不动点。倘若给
4、满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T有不动点。定理1.3 设完备，映射满足条件（）。若是列紧集，则T有唯一的不动点。证明：取的闭包。它是X内的自列紧集（即紧致性），而且有。在上定义一个实值函数 （1.12）是上的连续函数。它在上达到最小值，即存在使 （1.13）则。假若不然，即，考虑和，它们都属于。而由（）得 （1.14）得到矛盾，不动点的存在性证得。T的不动点是唯一的。假设有使得，那么一方面有，另一方面由（）有，矛盾，可见。证毕。（3）压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。例：设具有由R诱导出的距离，定义T如下： （1.15）T是压缩映射，但是没有不动点。（4）方程的不动点在大多数情况
5、下实际上不易求得，因此常用作为其近似值。这样就要估计与的误差。若用近似代替，由于，则其误差为 （1.16）这就是误差估计式。二、隐函数存在定理和皮卡定理定理2.1（隐函数存在定理）：设函数在带状域 （2.1）中处处连续，且处处有关于y的偏导数，如果还存在常数m和M，满足 （2.2）则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解： （2.3）证明：在完备空间上作映射A，使对任意的函数，有。按照定理条件，是连续的，故也连续，即。所以A是到自身的映射。A是压缩映射。实际上，对于，根据微分中值定理，存在，满足 （2.4）由于，所以令，则有，且 （2.5）按中距离的定义，即知 （2.6）因此，A是压缩映射。由不
6、动点定理，存在唯一的满足，即，也就是说。证毕。定理2.2（皮卡定理）：设是矩形 （2.7）上的二元连续函数，设，又在D上满足利普希茨条件，即存在常数K，使对任意的，有 （2.8）那么方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解，其中 （2.9）为了证明本定理，首先有如下结论和定理：结论：Ca,b是完备的度量空间定理2.3 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X上的闭子空间（皮卡定理）证明：设表示区间上连续函数全体按距离所成的度量空间，由上面结论，是完备度量空间，又令表示中满足条件 （2.10）的连续函数全体所成的子空间，不难看出是闭子空间，由上面定理知，是完备度量空间。令 （2.
7、11）则T是到的映射。事实上，因，所以若，那么当时，又因是D上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。又对一切， （2.12）所以，当时，。下面证明T是压缩映射，实际上，由条件（2.8），对中任意两点x和v，有 （2.13）令，则，且 （2.14）所以T是上的压缩映射。由不动点定理，存在唯一的，使得，即 （2.15）且。两边对t求导，即得。这说明是方程满足初值条件的解。另外，设也是此方程满足初值条件的解，那么 （2.16）因而，且是T的不动点，由不动点唯一性必有，即方程在区间上有唯一的满足初值条件的连续函数解，证毕。三、利用Banach不动点定理证明区间套定理定理3.1（区间套定理）：若闭区间列
8、具有如下性质(1) (2) 则存在唯一的，使得在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明证明：由条件（2），不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间按距离是完备距离空间。作映射： （3.1）于是对任意的，有，从而是到自身的映射。对于，有 （3.2）令，由于，于是，从而且，因此 （3.3）所以是到自身的压缩映射。由Banach不动点定理可知，在上存在唯一不动点，即存在，使得，因，故存在假设另存在，则有，于是 （3.4）从而，因此，证毕。四、不动点定理解线性代数方程组定理4.1 设有线性方程组，其中是矩阵，是未知向量，是已知的n维列向量，若矩阵A满足条件 （4
9、.1）则方程组有唯一的解。证明：令，对于任意的，定义它们的距离为，对于任意的，定义映射为：。因为 （4.2）故T为压缩映射，由的完备性知，T存在唯一的不动点，因此，即方程存在唯一解。五、积分方程解的存在唯一性定理5.1（第二类Fredholm积分方程的解）设第二类Fredholm线性积分方程 （5.1）其中为参数，对充分小的，则（1）当，是定义在，内的连续函数时，（5.1）有唯一的连续解 ，而且是迭代序列 （5.2）的极限，其中可取中的任意函数；（2）当，积分核是定义在，内的可测函数，满足 （5.3）（是定义在，内的可积函数）时，（5.1）有唯一的解。证明：（1）令为 （5.4）由于，分别在和上连续，当，即T是到自身的映射，并且算子T的不动点就是积分方程的解。一般情况下，T不是压缩映射，但当时，T为压缩映射，其中。事实上，对中的任意两元素x,y有 （5.5）可见，当时，T为压缩映射，由于为完备
