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1、第3课时 三角形中的几何计算 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法进一步解 决有关三角形的问题 掌握三角形的面积公式的简单推 导和应用 重点 2 三角形各种类型的判定方法 1 我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些 D 思考 如何用已知边和角表示三角形的面积 三角形面积公式 A a CB c b ha hc hb 2 已知边角求三角形的面积 ha bsinC csinB hb csinA asinC hc asinB bsinA A a ha CB D c b 分析 这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积的 问题 与解三角形问题有密切的关系 我们可以应用解 三角形面积的知识 观察已知什
2、么 尚缺什么 求出需 要的元素 就可以求出三角形的面积 3 根据余弦定理的推论 得 例2 如图 某市在进行城市环境建设中 要把一个三角形的 区域改造成市内公园 经过测量得到这个三角形区域的三条 边长分别为68 m 88 m 127 m 这个区域的面积是多少 精 确到0 1 分析 本题可转化为已 知三角形的三边 求角 的问题 再利用三角形 的面积公式求解 C A B 解 设a 68 m b 88 m c 127 m 根据余弦定理的推论 得 例3 在 ABC中 求证 分析 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题 观察式子左右两边的特点 联想到用正弦定理和余弦 定理来证明 三角形边角关系应用 证
3、明 1 根据正弦定理 可设 2 根据余弦定理 右边 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 左边 1 acosA bcosB 例4 判断满足下列条件的三角形的形状 提示 利用正弦定理或余弦定理 化边为角 或 化 角为边 判断三角形的形状 另解 由正弦定理得sinAcosA sinBcosB 所以sin2A sin2B 即2A 2B 根据边的关系易得是等腰三角形 所以A B 思考 为什么两种求解方法答案不同 哪个正确 哪个错 误 为什么 因为sin2A sin2B 有可能推出2A与2B两个角互补 即2A 2B 180 则A B 90 前一种解法正确 后一种解法遗漏
4、了一种情况 所以此三角形为直角三角形 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的 式子或只含角的三角函数式 然后化简并考察边或角的关 系 从而确定三角形的形状 特别是有些条件既可用正弦 定理也可用余弦定理甚至可以两者混用 答 三角形的面积为 4 2012 新课标课标 全国高考 已知a b c分别为别为 ABC三 个内角A B C的对边对边 1 求A 2 若a 2 ABC的面积为 求b c 解析 1 由 及正弦定理得 由于sinC 0 所以 又0 A 故A 2 ABC的面积 1 三角形面积公式 2 确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理 化边为角 或 化角 为边 智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇 迹 爱默生
