《2011届高三数学一轮复习精品课件：空间向量的应用 新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高三数学一轮复习精品课件：空间向量的应用 新人教A版.ppt（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7课时 空间向量的应用 1 异面直线所成的角 1 过空间任一点O分别作异面直 线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 的角 叫做异 面直线a与b所成的角 基础知识梳理 不大于90 2 异面直线所成角的向量公式 两异面直线a b的方向向量分别为m 和n 当m与n的夹角不大于90 时 异面直 线a b所成的角 与m和n的夹角 当 m与n的夹角大于90 时 直线a b所成的 角 与m和n的夹角 所以直线 a b所成的角 的余弦值为 基础知识梳理 相等 互补 2 直线和平面所成的角 1 平面的斜线与它在平面上的 所成 的角叫做这条斜线与平面所成的角 2 直线与平面所成角的向量公式 直线a
2、的方向向量和平面 的法向量分别为 m和n 若m与n的夹角不大于90 时 直线a与平 面 所成的角等于 若m与 n的夹角大于90 时 直线a与平面 所成的角等 于 所以直线a的方 向向量和平面 所成的角的正弦值为 基础知识梳理 射影 m与n的夹角的余角 m与n的夹角的补角的余角 3 平面和平面所成的角 1 过二面角 l 棱上任一点O作垂 直于棱l的平面角 与面 的交线分别为 OA OB 那么 叫做二面角 l 的平面角 2 平面与平面所成角的向量公式 平面 与平面 的法向量分别为m和n 则二面角与m n的夹角 基础知识梳理 AOB 相等或互补 1 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3
3、1 4 则 A B C 相交但不垂直 D 以上均不正确 答案 C 三基能力强化 2 若直线l的方向向量与平面 的 法向量的夹角等于120 则直线l与平 面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 以上均错 答案 C 三基能力强化 3 教材习题改编 在如图所示 的正方体A1B1C1D1 ABCD中 E 是C1D1的中点 则异面直线DE与 AC所成角的余弦值为 三基能力强化 答案 D 三基能力强化 4 已知直线l的方向向量为v 平 面 的法向量是 且v 0 则l与 的位置关系是 答案 l 或l 5 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 平面AB1D1与平面A1BD所成的角为 0 90
4、则cos 三基能力强化 设a b分别是两异面直线l1 l2 的方向向量 则 课堂互动讲练 考点一求异面直线所成的角 l1与l2所成的角 a与b的夹夹角 a b 范 围围 0 0 a b 求法 cos cos a b cos a b 课堂互动讲练 例例1 1 2009年高考广东卷 如图 已知正方 体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 点E是正 方形BCC1B1的中心 点F G分别是棱 C1D1 AA1的中点 设点E1 G1分别是点 E G在平面DCC1D1内的正投影 1 证明 直线FG1 平面FEE1 2 求异面直线E1G1与EA所成角的正 弦值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 由题
5、设知点E F G1 E1的坐标分 别为 1 2 1 0 1 2 0 0 1 0 2 1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 题目条件不变 求异面直线AE 与CG所成角的余弦值 课堂互动讲练 互动探究互动探究 课堂互动讲练 考点二 求直线与平面所成的角 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例例2 2 2008年高考海南 宁夏 卷 如图 已知点P在正方体 ABCD A B C D 的对角线 BD 上 PDA 60 1 求DP与CC 所成角的 大小 2 求DP与平面AA D D所 成角的大小 课堂互动讲练 解 如图所示 以D为原点 棱 DA DC DD 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系
6、设棱长为1 则D 0 0 0 A 1 0 0 C 0 1 0 C 0 1 1 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 误区警示 在求直线和平面 所成的角时 误认为直线的方向向量 和平面的法向量的夹角就是直线和平 面所成角 其错误原因一是概念不清 二是做题不认真 1 利用向量求二面角的大小 可 以不作出平面角 如图所示 m n 即为所求二面角的平面角 课堂互动讲练 考点三求二面角 课堂互动讲练 2 对易于建立空间直角坐标系 的几何体 求二面角的大小时 可 以利用这两个平面的法向量的夹角 来求 如图所示 二面角 l 平面 的法向 量为n1 平面 的法向量为n2 n1 n2 则二面角
7、 l 的大小为 或 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例例3 3 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为菱形 PA 平面 ABCD ABC 60 E F 分别是BC PC的中点 1 证明AE PD 课堂互动讲练 思路点拨 据题意 题目中 过A点的线中垂直关系比较明显 可 以以A为坐标原点建立空间坐标系 利用向量法求解 解 1 证明 由四边形 ABCD为菱形 ABC 60 可得 ABC为正三角形 点E为BC的中点 所以AE BC 又BC AD 因此AE AD 因为PA 平面ABCD AE 平面 ABCD 所以PA AE 而PA 平面PAD AD 平面 PAD且PA AD A 所以AE 平面PAD 又P
8、D 平面PAD 所以AE PD 课堂互动讲练 2 设AB 2 H为PD上任意一点 由 1 知AE 平面PAD 则 EHA为EH与平面PAD所成的角 课堂互动讲练 所以 ADH 45 所以PA 2 由 1 知AE AD AP两两垂直 以A为坐标原点 建立如图所示的空 间直角坐标系 又E F分别为BC PC的中点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 取z1 1 则m 0 2 1 因为BD AC BD PA PA AC A 所以BD 平面AFC 课堂互动讲练 规律总结 利用向量法求二 面角的步骤 1 利用图形性质建立坐标系 2 求两半平面的法向量 3 求法向量的 夹角 4 结合图形转化二面角 课堂互动讲练
9、在有些立体几何的解答题中 建立空 间直角坐标系 以向量为工具 利用空间 向量的坐标和数量积解决直线 平面问题 的位置关系 角度 长度等问题越来越受 青睐 尤其是探索性问题 比用传统立体 几何方法简便快捷 课堂互动讲练 考点四 利用空间向量解决空间中的探索性问题 课堂互动讲练 例例4 4 课堂互动讲练 1 求证 AC SD 2 若SD 平面PAC 求二面角P AC D的大小 3 在 2 的条件下 侧棱SC上是 否存在一点E 使得BE 平面PAC 若 存在 求SE EC的值 若不存在 试 说明理由 课堂互动讲练 思路点拨 建立空间坐标系 以AC BD为坐标轴 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲
10、练 课堂互动讲练 名师点评 利用空间向量解 决探索性问题 具有一定的优越性 其思路上 利用坐标系 表示出一些 点的坐标 计算出满足条件的关系 从而探索出所要研究的问题 课堂互动讲练 4 本题满分12分 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 平面ABC BC AC BC AC 2 AA1 3 D为AC的中点 课堂互动讲练 高考检阅高考检阅 1 求证 AB1 平面BDC1 2 求二面角C1 BD C的余弦值 3 在侧棱AA1上是否存在点P 使得 CP 平面BDC1 并证明你的结论 解 1 证明 连结B1C 与BC1相交于 O 连结OD 如图 四边形BCC1B1是矩形 O是B1C的中点 又D是
11、AC的中点 OD AB1 AB1 平面BDC1 OD 平面BDC1 AB1 平面BDC1 4分 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 3 假设侧棱AA1上存在一点P 2 y 0 0 y 3 使得CP 平面BDC1 方程组无解 假设不成立 侧棱AA1上不存在点P 使得 CP 平面BDC1 12分 课堂互动讲练 用空间向量解决立体几何问题的 三步 曲 1 两种思维方法 用空间向量解决立体几何问题 有两 种基本思维 一种是利用空间向量表示几 何量 利用向量的运算进行判断 此种方 法不需要建系 另一种是用空间向量的坐 标表示几何量 利用向量的坐标运算进行 判断 此种方法需要建系 规律方法总结 2 三步曲 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究点 直线 平 面之间的位置关系以及它们之间的距离和 夹角等问题 把向量运算的结果 翻译 成相应的 几何意义 即回归到图形问题 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入点击进入 课时活页训练 点击进入点击进入
