《2010届高考数学复习强化双基系列课件24《三角函数-三角函数的应用》.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高考数学复习强化双基系列课件24《三角函数-三角函数的应用》.ppt（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件 24 三角函数 三角函数的应用 1 已知函数 f x tanx x 0 若 x1 x2 0 且 x1 x2 证明 f x1 f x2 f x1 x2 2 1 2 2 2 证 tanx1 tanx2 sinx1 cosx1 sinx2 cosx2 sinx1cosx2 cosx1sinx2 cosx1cosx2 sin x1 x2 cosx1cosx2 2sin x1 x2 cos x1 x2 cos x1 x2 x1 x2 0 且 x1 x2 2 2sin x1 x2 0 cosx1cosx2 0 且 0 cos x1 x2 1 0 cos x1 x2
2、 cos x1 x2 2sin x1 x2 1 cos x1 x2 tanx1 tanx2 tan 1 2 x1 x2 2 f x1 f x2 f 1 2 x1 x2 2 典型例题 由已知 0 t1 1 0 t2f 1 2 x1 x2 2 另证 令 tan t1 tan t2 2 x1 2 x2 则 tanx1 tanx2 tan 1 2 t1 t2 1 t1t2 1 t12 1 t22 x1 x2 2 t1 t2 1 t1t2 故要证不等式等价于 t1 t2 1 t1t2 1 t12 1 t22 t1 t2 1 t1t2 只需证明 1 t1t2 2 1 t12 1 t22 即证 1 2t1t
3、2 t1t2 2 1 t12 t22 t1t2 2 即证 t1 t2 2 0 t1 t2 t1 t2 2 0 成立 1 已知函数 f x tanx x 0 若 x1 x2 0 且 x1 x2 证明 f x1 f x2 f x1 x2 2 1 2 2 2 2 已知 cos 求 cos 2 的值 2 4 4 3 52 3 解 2 2 3 0 3 5 4 2 3 4 7 4 4 sin 1 cos2 4 5 又 cos2 sin 2 2 2sin cos 4 4 2 3 5 4 5 25 24 sin2 cos 2 2 4 1 2cos2 1 2 2 3 525 7 cos 2 cos2 sin2
4、4 2 2 2 225 24 25 7 50 31 2 另解 2 2 3 0 3 5 4 2 3 4 7 4 4 sin 1 cos2 4 5 cos cos sin 4 2 2 sin cos sin 4 2 2 cos sin 2 cos sin 2 3 5 4 5 解得 sin 2 cos 10 72 10 cos 2 cos 4 4 4 cos cos sin sin 4 2 2 1010 73 5 4 5 2 已知 cos 求 cos 2 的值 2 4 4 3 52 3 注 亦可由 等方法求出 sin cos 后求值 4 4 50 31 2 3 已知 O 为坐标原点 OA 2cos2
5、x 1 OB 1 3 sin2x a 其中 x R a R a 为常数 若 y OA OB 1 求 y 关于 x 的函数 关系式 f x 2 若 x 0 时 f x 的最大值为 2 求 a 的值 3 指出 f x 的单调区间 2 2 f x 2sin 2x a 1 6 解 1 由已知 y OA OB 2cos2x 3 sin2x a f x cos2x 3 sin2x a 1 6 由 2x 得 x 2 6 0 2 故当 x 时 f x 取最大值 3 a 6 由题设 3 a 2 a 1 3 由 2k 2x 2k 得 6 2 2 k x k 3 6 f x 的单调递增区间为 k k k Z 6 3
6、 由 2k 2x 2k 得 6 2 2 3 k x k 6 3 2 f x 的单调递减区间为 k k k Z 6 3 2 4 若 cos x x 求 的值 4 3 54 7 12 17 1 tanx sin2x 2sin2x 4 cos x 3 5 4 4 sin x 1 cos2 x 4 5 x 2 4 3 5 解 x 4 7 12 17 有以下解法 解法1 凑角处理 cosx cos x 4 4 4 4 cos x cos sin x sin 4 4 2 10 sinx tanx 7 10 7 2 1 tanx sin2x 2sin2x 1 tanx 2sinxcosx 2sin2x 75
7、 28 2 1010 7 2 2 2 2 10 7 2 1 7 sin2xtan x 4 解法2 先化简原式 1 tanx sin2x 2sin2x 1 tanx 2sinxcosx 1 tanx 而 sin2x cos 2x 2 4 1 2cos2 x 1 2 2 3 525 7 4 4 tan x 4 cos x sin x 4 3 原式 25 7 4 3 75 28 解法3 变式处理 4 又cos x sin x 3 54 4 5 cos x cosx sinx 4 2 2 sin x cosx sinx 4 2 2 cosx sinx 2 cosx sinx 2 3 5 4 5 解得
8、sinx 2 cosx tanx 7 10 72 10 1 tanx sin2x 2sin2x 1 tanx 2sinxcosx 2sin2x 75 28 2 2 2 2 1010 7 2 10 7 2 1 7 应用题举例 1 已知扇形的周长为 30cm 当它的半径和圆心角各取什么 值时 才能使扇形的面积最大 最大面积是多少 解 设扇形的半径为 r 圆心角为 面积为 S 弧长为 l 依题意得 l 2r 30 则 l 30 2r 0 r0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解 1 设扇形的弧长为 l 该弧所在的弓形面积为 S弓 60 R 10cm 3 l cm 3 10 S弓 S扇形 S三角形
9、 10 102 sin60 3 101 2 1 2 50 cm2 3 3 2 2 扇形的周长 C 2R l 2R R 2 C R S扇形 R2 2 1 2 1 2 2 C C2 1 2 4 4 2 C2 2 1 4 4 C2 2 1 4 2 4 C2 16 C2 16 当且仅当 即 2 2舍去 时 该扇形有最大面 4 积 cm2 AB CD P Q R S T 3 如图所示 ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮 其中 AST 是一半径为 90m 的扇形小山 其余 部分都是平地 一开发商想在平地上建 一个矩形停车场 使矩形的一个顶点在 ST 上 相邻两边 CQ CR 落在正方形的 边
10、BC CD 上 求矩形停车场 PQCR 面积 的最大值和最小值 解 连结 AP 设 PAB 0 90 延长 RP 交 AB 于 M M 则 AM 90cos MP 90sin PQ MB 100 90cos PR MR MP 100 90sin S矩形PQCR PQ PR 100 90cos 100 90sin 10000 9000 sin cos 8100sin cos 令 t sin cos 1 t 2 则 sin cos t2 1 2 S矩形PQCR 10000 9000t 4050 t2 1 故当 t 时 S矩形PQCR 有最小值 950m2 9 10 当 t 2 时 S矩形PQCR
11、有最大值 14050 9000 2 m2 4050t2 9000t 5950 E k 其中 k 是一个与电光强度有关的常数 问要使桌子 边缘处最亮即E 最大 应怎样选择电灯悬挂的高度 h 指电灯离 开桌面的距离 4 在一张半径为 2 米的水平圆桌正中央上空挂一盏电灯 已 知桌子边缘一点处的亮度为 E 灯光射到桌子边缘的光线与桌 面的夹角 及这一点到光源的距离 r 三者之间的关系为 r2 sin 解 由已知 r cos 2 4 sin cos2 E k 0 2 E2 sin2 cos4 16 k2 32 k2 2sin2 cos2 cos2 332 k2 3 2sin2 cos2 cos2 10
12、8 k2 当且仅当 2sin2 cos2 时取等号 此时 tan2 tan 1 2 2 2 当 h 2tan 2 时 E2 最大 即 E 最大 故电灯悬挂的高度 h 为 2 米时 桌子边缘处最亮 h A BC D E 5 如图 某地要修建一横截面为梯形的水渠 为降低成本 必 须尽量减少水与水渠壁的接触面 若水渠断面面积为定值 a 渠 深 8 分米 则水渠的倾角 为多少时 才能使修建成本最低 解 作 CE AD 于 E 设水渠横断面 边长之和为 l 则 l BC 2CD ED 8cot CD sin 8 由 a 得 8 2BC 2DE 2 BC 8cot 8 a sin 16 l 8cot 8
13、a 8 0 0 且 ksin cos 2 k2 1sin 2 sin 1 k2 1 2 k 3 3 故当 k 3 即 时 l 最小 此时成本最低 ED F C ABO 6 平地上有一水渠 渠边是两条长 100 米的平行线段 渠宽 AB 长 2 米 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧 圆弧 中点为 C 渠中水深为 0 4 米 1 求渠中水有多少立方米 sin0 927 0 8 2 若要把水渠改挖 不得填土 成截面为等腰梯形的 水渠 使渠的底面与地面平行 改挖后的渠底宽为多少时 所挖 的土最少 结果保留根号 解 1 如图 依题意 CF 0 4 OE 1 OF 0 6 EF 0 8 DE 2EF
14、 1 6 在 OEF 中 sin EOF 0 8 EOC 0 927 EOD 2 0 927 S扇形DOE 2 0 927 12 1 2 0 927 而 S三角形DOE OF DE 0 48 1 2 渠中有水 100 0 927 0 48 44 7 立方米 MNP O 6 平地上有一水渠 渠边是两条长 100 米的平行线段 渠宽 AB 长 2 米 与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧 圆弧 中点为 C 渠中水深为 0 4 米 2 若要把水渠改挖 不得填土 成截面为等腰梯形的水渠 使渠的底面与地面平行 改挖后的 渠底宽为多少时 所挖的土最少 结果保留根号 解 2 如图 依题意 只需等腰梯形面积
15、最小 设 ONP 则梯形面积 S 2cot 2csc2 1 2 cos2 2 sin2 即 Ssin2 cos2 2 S2 1 sin 2 2 tan S 1 sin 2 1 S2 1 2 1 S 3 S 的最小值为 3 此时 6 即 sin 2 1 6 3 3 故 MN 2OPcot 3 2 3 即改挖后的渠底宽为 米 3 2 3 解 如图 分两种情况讨论 AB CD a AD BC b 7 有一块长为 a 宽为 b a b 的矩形木板 在二面角为 的墙 角处围出一个直三棱柱的储物仓 使木板垂直于地面的两边与 封面贴紧 试问 应怎样围才能使储物仓的容积最大 并求出 这个最大值 A B CD
16、O x y 设 OA x OB y 则 a2 x2 y2 2xycos a2 2xy 2xycos 2xy 1 cos xy 当且仅当 x y 时取等号 2 1 cos a2 又 V1 xysin b 1 2 4 1 cos a2bsin a2bcot 1 42 当 OA OB 时 储物仓的容积最大 2 若使短边紧贴地面 则 xy 当且仅当 x y 时取等号 2 1 cos b2 1 若使长边紧贴地面 则 V2 xysin a 1 2 4 1 cos ab2sin ab2cot 1 42 也是 OA OB 时 储物仓的容积最大 2 a b 0 cot 0 V1 V2 故当长边紧贴地面且仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形 时 储物仓的容积最大 最大值为 a2bcot 1 42 ED F A BQC P R S 解 1 AC asin AB acos 设正方形边长为 x 则 BQ xcot RC xtan 8 如图 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地 ABC 外的地方种草 ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池 其余的地方种花 若 BC a ABC 设 ABC 的面积为
