《2010届高考数学专题复习精课件—28三角函数的最值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高考数学专题复习精课件—28三角函数的最值.ppt（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 一 高考要求 1 能利用三角函数的定义域 值域 单调性和它们的图象 等 求三角函数的最大值和最小值 2 能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值 3 会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一 需要综 合运用三角函数概念 图象 性质以及诱导公式 同角三角函 数基本关系式 三角变换等 也是函数内容的交汇点 常见方 法有 1 涉及正 余弦函数以及 asin bcos 可考虑利用三角函 数的有界性 二 重点解析 三 知识要点 2 形如 y asin2x bsinx c 或 y acos2x bsinx c 的函数可通 过适当变
2、换 配方求解 3 形如 sinx cosx sinxcosx 在关系式中时 可考虑换元法 处理 常见的三角换元 1 若 x2 y2 1 可设 x cos y sin 2 若 a x2 y2 b 可设 x rcos y rsin a r2 b 3 对于 1 x2 由于 x 1 可设 x cos 0 或 x sin 2 2 4 对于 1 x2 可设 x tan 或 x cot 0 2 2 5 对于 x2 1 可设 x sec 0 或 或 x csc 0 或 00 只需考察 y2 的最值 27 16 y2 4cos2 cos2 sin2 2 x 2 x 2 x 2 3 2sin2 cos2 cos2
3、 3 2 x 2 x 2 x 仅当 2sin2 cos2 即 tan 0 x 时取等号 2 x 2 x 2 x 2 2 y 无最小值 当 x 2arctan 时 y2 取最大值 2 227 16 4 3 9 当 x 2arctan 时 y 取最大值 2 2 2 x 2 求函数 y 1 cosx sin 0 x0 2a 2a b 1 1 2 2a 1 2a b 5 a 0 2a 2a b 5 1 2 2a 1 2a b 1 或 解得 a 2 b 5 或 a 2 b 1 6 求 y 的最值及对应的 x 的集合 1 sinx 3 sinx 2 sinx 解 y 2 sinx sin2x 4sinx
4、3 2 sinx 2 sinx 2 1 2 sinx 2 sinx 1 令 2 sinx t 则 y f t t 1 t 3 t 1 对于任意的 t1 t2 1 3 且 t1 t2 有 f t1 f t2 t1 t2 t1 1 t2 1 t1t2 1 t1t2 t1 t2 0 即 f t1 f t2 0 f t1 f t2 f t 在 1 3 上是增函数 当 t 1 时 ymin f t min 0 此时 sinx 1 x 的集合为 x x 2k k Z 2 x x 2k k Z 2 当 t 3 时 ymax f t max 此时 sinx 1 x 的集合为 8 3 7 函数 y sin2x
5、acosx a 0 x 的最大值为 1 求 a的 值 2 5 8 3 2 解 由已知 y cos2x acosx a 5 8 1 2 cosx 2 a 4 a2 a 2 5 8 1 2 令 t cosx 则 y t 2 a 0 t 1 4 a2 a 2 5 8 1 2 讨论如下 若 0 1 则 t 时 由题设 ymax a 1 a 2 a 24 a2 5 8 1 2 解得 a 4 舍去 或 a 3 2 解得 a 舍去 5 12 若 1 则 t 1 时 由题设 ymax a 1 3 2 a 28 13 解得 a 舍去 13 20 综上所述 a 3 2 8 若方程 4sin2x cos4x a 0
6、 恒有实数解 求 a 的取值范围 解法 1 从方程有解的角度考虑 原方程即为 2cos22x 2cos2x 3 a 0 令 t cos2x 则 t 1 且 2t2 2t 3 a 0 恒有解 解得 1 a 7 2 解法 2 从二次函数图象及性质考虑 问题转化为 a 为何值时 f t 2t2 2t a 3 的图象与横轴至少有一个交 点的横坐标在 1 1 内 f t 图象的对称轴为直线 t 1 2 4 7 2a 0 2 4 7 2a 4 1 4 7 2a 0 2 4 7 2a 4 1 或 解得 1 a 7 2 0 f 1 0 f 1 0 f 1 0 或 8 若方程 4sin2x cos4x a 0
7、恒有实数解 求 a 的取值范围 解法 3 正难则反 从反面考虑 f t 图象的对称轴为直线 t 1 2 若方程 f t 2t2 2t a 3 0 的两根均在 1 1 之外 则 7 2 当 4 7 2a 0 即 a 时 f 1 0 解得 a0 时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 2 函数 y acosx b a b为常数 若 7 y 1 求 bsinx acosx 的最大值 解得 a 4 b 3 此时 a b 1 a b 7 tan 4 3 当 a 0 时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x 解得 a 4 b 3 此时 a b 7 a b
8、1 tan 4 3 当 a 0 时 不合题意 综上所述 bsinx acosx 的最大值为 5 解 y 1 sin2x 2asinx a sinx a 2 a2 a 1 令 sinx t 则 y t a 2 a2 a 1 1 t 1 若 a1 则当 t 1 时 y 有最大值 3 求函数 y cos2x 2asinx a a 为定值 的最大值 M M 1 a 2 a2 a 1 a 若 1 a 1 即 1 a 1 则当 t a 时 y 有最大值 M a a 2 a2 a 1 a2 a 1 若 a 1 即 a 1 则当 t 1 时 y 有最大值 M 1 a 2 a2 a 1 3a 综上所述 M a2
9、 a 1 1 a 1 3a a1 4 当 a 0 时 求函数 f x sinx a cosx a 的最大值 最小值 以及相应的 x 的取值 解 f x sinxcosx a sinx cosx a2 f x g t t2 1 at a2 1 2 t a 2 a2 1 1 2 a 为常数 只需求 y t a 2 的最值 t 2 2 且 a 0 当 t 2 即 x 2k k Z 时 f x 取最大值 a2 2 a 4 1 2 若 0 a 2 则 2 a 0 当 t a 即 x 2k arccos a k Z 时 f x 取最小值 a2 1 2 24 1 2 若 a 2 则当 t 2 即 x 2k
10、k Z 时 4 5 1 2 f x 取最小值 a2 2 a 令 t sinx cosx 则 t 2 cos x 且 t 2 2 4 5 设 0 且 cos2 2msin 2m 2 0 恒成立 求 m 的取 值范围 2 解法 1 由已知 0 sin 1 且 1 sin2 2msin 2m 2 0 恒成立 令 t sin 则 0 t 1 且 1 t2 2mt 2m 20 对 t 0 1 恒成立 故可讨论如下 1 若 m0 即 2m 1 0 解得 m 1 2 2 若 0 m 1 则 f m 0 即 m2 2m 1 0 亦即 m2 2m 1 0 解得 1 2 m 1 2 0 m 1 m1 则 f 1
11、0 即 0 m 2 0 m R m 1 综上所述 m 1 2 即 m 的取值范围是 1 2 解法 2 题中不等式即为 2 1 sin m 1 sin2 0 2 0 sin 1 当 sin 1 时 不等式显然恒成立 此时 m R 当 0 sin 恒成立 1 sin2 2 1 sin 令 t 1 sin 则 t 0 1 且 2t 1 1 t 2 1 t 2 t m 1 恒成立 易证 g t 1 在 0 1 上单调递增 有最大值 1 t 2 t 1 2 m 1 2 即 m 的取值范围是 1 2 5 设 0 且 cos2 2msin 2m 2 0 恒成立 求 m 的取 值范围 2 6 设 0 P si
12、n2 sin cos 1 若 t sin cos 用含 t 的式子表示 P 2 确定 P 的取值范围 并求出 P 的最大值和最 小值 解 1 t sin cos t2 1 2sin cos 1 sin2 sin2 1 t2 P 1 t2 t 2 t sin cos 2 sin 4 0 4 4 4 3 即 P t2 t 1 sin 1 2 24 1 t 2 P t2 t 1 的图象是开口向下的抛物线 其对称轴为 1 2 直线 t 1 2 当 t 时 P 取最大值 5 4 当 t 1 时 P 取最小值 1 5 4 从而 P 的取值范围是 1 7 已知 f x 2cos2x 3 sin2x a a
13、R 1 若 x R 求 f x 的 单调增区间 2 若 x 0 时 f x 的最大值为 4 求 a 的值 3 在 2 的条件下 求满足 f x 1 且 x 的 x 的集合 2 解 1 f x 1 cos2x 3 sin2x a 2sin 2x a 1 6 由 2k 2x 2k 得 6 2 2 k x k 3 6 f x 的单调递增区间为 k k k Z 6 3 6 2 由 2x 得 x 2 6 0 2 故当 x 时 f x 取最大值 3 a 6 由题设 3 a 4 a 1 3 在 2 的条件下 f x 2sin 2x 2 6 2 1 f x 1 sin 2x 6 又由题设 2x 6 6 11
14、6 13 2x 或 或 或 6 6 6 5 6 7 6 11 x 2 6 2 6 5 6 2 6 5 故所求集合为 2 8 设 f x cos2x asinx 0 x 1 用 a 表示 f x 的最 大值 M a 2 当 M a 2时 求 a 的值 4 a1 22 解 1 f x sin2x asinx 4 a1 2 令 t sinx 则 0 t 1 故有 f x g t t2 at t 2 0 t 1 4 a1 22 a 4 a2 4 a1 2 要求 f x 的最大值 M a 可分情况讨论如下 g t 在 0 1 上先增后减 g t 在 0 1 上为减函数 当 0 即 a1 即 a 2 时 2 a M a g 2 a 4 a2 4 a1 2 g t 在 0 1 上为增函数 M a g 1 a 1 2 3 4 a2 1 2 3 4 若 2 即 a2 a 6 0 4 a2 4 a1 2 2 由 1 知 若 2 则 a 6 4 a1 2 解得 a 3 或 2 均不合题意 舍去 1 2 3 4 若 a 2 则 a 3 10 综上所述 a 的值为 6 或 3 10
