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1、1 上海市格致中学2013 届高三数学下学期仿真考试试题理 一 填空题 每小题4 分 满分56 分 1 已知复数z满足 1 2zi i是虚数单位 则 z 2 2 不等式 1 0 21 x x 的解为 1 1 2 x 用集合或区间表示也可以 3 若全集UR 集合 31 Axx 32 ABxxU 则 U BAI e 1 2 4 若二项式 6 a x x 展开式的常数项为20 则a 1 5 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆 则此圆锥的体积为 3 3 6 某学院的A B C三个专业共有1200名学生 为了调查这些学生勤工俭学的情况 拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本 已知该学院的A
2、专业有 380 名学生 B 专业有420名学生 则在该学院的C专业应抽取 名学生 40 7 已知函数 1 2 0 x f xaa且1 a的反函数为 1 fx 若 1 xfy在 0 1 上 的最大值和最小值互为相反数 则a的值为 6 8 数列 n a满足 对于任意的 m nN m nmn aaa 若 1 1 2 a 则 2013 a 2013 2 9 若函数 102 36 sin 2 xxxf的图像与 x轴交于点A 过点A的直线l与 函数的图像交于另外两点B C O是坐标原点 则 OBOCOA u uu ru uu ruuu r 32 10 袋中装有同样大小的10个小球 其中有8个白球 2个红球
3、 从中任取2个球 取到 白球得 1 分 取到红球得5 分 记随机变量为一次取得的两球的分数之和 则E 18 5 11 若双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上存在四个不同的点A B C D 使四边形 ABCD为菱形 则 b a 的取值范围为 1 12 在极坐标系中 O是极点 点M的极坐标为 0 02 则称为向量 OM u uuu r 的方向角 方向相同的两平行向量的方向角相同 已知 23 2 P 5 3 6 Q 则 2 A B O M N 向量PQ uuu r 的方向角等于 4 3 13 定义在R上的偶函数 f x对于任意的xR有 1 1 fxfx 且当 2 3 x时 2 69f
4、 xxx 若函数 logayf xx在 0 上只有四个零点 则实数a的值 为 1 4 14 某公园草坪上有一扇形小径 如图 扇形半径为40m 中心角为120 o 甲由扇形中 心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走 同时乙从A出发 沿扇形弧以每秒 4 3 米的速度向B慢跑 记 020 tt秒时 甲 乙两人所在位置分别为N M MNf t 通过计算 5 f 10 f 15 f判断下列说法是否正确 1 当MNOA时 函数 f t取最小值 2 函数 yf t在区间 10 15 上是增函数 3 若 0 f t最小 则 0 0 10 t 4 40g tf t在 0 20 上至少有两个零点 其中正确的判断序
5、号是 把你认为正确的判断序号都填上 2 3 4 二 选择题 每小题5 分 满分20 分 15 2p 是 关于x的实系数方程 2 10 xpx没有实数根 的 A A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 16 设是平面 l m n是三条不同的直线 则下列命题中正确的是 C A 若 mnlm lnl则苘 B 若 mnlnlm则 C 若 lm mn 则 ln D 若 lm lnnm则 17 设 1 F 2 F分别是椭圆 2 2 2 1 01 y E xb b 的左 右焦点 过 1 F的直线l与E相交 于A B两点 且 2 AF AB 2 BF成等差数列 则
6、AB的长为 C A 3 2 B 1 C 3 4 D 3 5 18 f x是定义在R上周期为1的周期函数 当 0 1 x时 1 x f x x 直线yx 与函数 yf x的图像在y轴右边交点的横坐标从小到大组成数列 n a 则 A 3 A 1 1 nn aa对于 nN恒成立 B 1 1 nn aa对于 nN恒成立 C 1 1 nn aa对于 nN恒成立 D 1nn aa与1的大小关系不确定 三 解答题 共 5 大题 满分74 分 解题要有必要的步骤 19 本题满分12 分 第 1 题 6 分 第 2 题 6 分 已知函数 23 3sinsincos 2 f xxxxxR 1 求函数 f x的最小
7、正周期T与单调递增区间 2 在 ABC中 若 1 2 fAf B 求角C的值 解 1 313 1cos2 sin2sin 2 2223 f xxxx 2分 所以周期 T 3分 由2 2 2 322 xkk 得 5 1212 xkk 即函数 f x单调递增区间为 5 1212 kkkZ 6分 2 A B为三角形内角 所以 A 0 B 由 1 2 f x且 0 x得 1 sin 2 324 xx或 7 12 x 8分 又AB 所以 4 AB或 7 412 AB或 7 124 AB 10分 所以 2 C或 6 C 12分 20 本题满分14 分 第 1 题 7 分 第 2 题 7 分 已知函数 2
8、1 f xaxa bR xb 1 判断函数 f x的奇偶性 并说明理由 2 当0b时 1 2 4 f xa在 1 0 2 上恒成立 求a的取值范围 解 1 函数 f x定义域 bbU 当0b时 函数定义域不关于原点对称 所以函数 f x是非奇非偶函数 2分 当 0b 时 2 1 f xax x 0a时 1 f x x 是奇函数 4分 0a时 1 1 1 1fafa 1 1 20 1 1 ffaff 4 f x不是奇函数 1 1 2 1 1 ffff f x不是偶函数 6分 综上知 当0a或0b时 f x是非奇非偶函数 当 0ab 时 f x是奇函数 7分 2 0b时 21 f xax x 21
9、 2 4 a ax x 在 1 0 2 x上恒成立 即 1 2 11111 2 2 2222 x a xxa xx xx 9 分 由 111 0 222 xx 则 2 1 2 a x x 在 1 0 2 x上恒成立 11 分 当 1 0 2 x时 11 22 x x 所以 2 4 1 2 x x 13 分 即4a 14 分 21 本题满分14 分 第 1 题 7 分 第 2 题 7 分 如图 1111 ABCDA B C D是棱长为2的正方体 P为面对角线 1 AD上的动点 不包括 端点 PM平面ABCD交AD于点M MNBD于N 1 设APx 将PN长表示为x的函数 f x 并求此函数的值域
10、 2 当PN最小时 求异面直线PN与 11 AC所成角的大小 解 1 由题知 PMMN 则 PMN是直角三 角形 2 2 APxPMAMx 21 22 22 MDxMNx 2223 22 4 PNPMMNxx 即 23 22 02 2 4 f xxxx 5分 22332 23 22 4434 f xxxx 所以 2 3 2 3 f x 7分 A1 B1 C1 D1 A B C D P M N 5 2 当 2 2 3 x时 min 2 3 3 PN 因为 11 ACAC ACBD 则 ACMN 即有 11 ACMN 所以PNM即为异面 直线PN与 11 AC所成的角 10分 在 直 角 三 角
11、形 AMN 中 22 23 PMAP 2 3 3 PN 3 sin 3 PNM 则 3 arcsin 3 PNM 所以直线PN与 11 AC所成的角为 3 arcsin 3 14分 22 本题满分16 分 第 1 题 4 分 第 2 题 6 分 6 分 抛物线 2 2 0 ypx p的焦点F为圆C 22 430 xyx的圆心 1 求抛物线的方程与其准线方程 2 直线l与圆C相切 交抛物线于A B两点 若线段AB中点的纵坐标为4 3 求直线l的方程 求FA FB uu u r u uu r 的取值范围 解 1 由 22 430 xyx得 22 2 1xy 圆心 2 0 C 即 2 0 F 所以抛
12、物 线方程为 2 8yx 3分 准线方程为 2x 4分 2 设 l xmyt 由l与圆C相切得 2 2 1 1 t m 6分 再由 2 8 xmyt yx 得 2 880ymyt 设 1122 A xyB xy 则 1212 8 8yym y yt 8分 由题意 12 4 3 2 yy 得3m代入 得 0t或4t 所以直线 l方程为 30 xy 或340 xy 10分 2 0 F 1122 2 2 FAxyFBxy u uu ru uu r 1212 2 2 FA FBxxy y uu u r uuu r 2 12 1212121212 2 42 44 64 y y x xxxy ym yyt
13、y y 6 将 1212 8 8yym y yt代入化简得 22 12416FA FBttm uu u r uu u r 13分 由 得 22 43mtt 所以 2 155244FA FBtt uu u r u u u r 14分 由于 22 430mtt 所以1t或3t 15分 令 2 155244f ttt 知 f t在 1 上递增 在 3 上递减 1 7f 3 13f 所以FA FB uu u r uu u r 取值范围为 7 16分 23 本题满分18 分 第 1 题 4 分 第 2 题 7 分 第 3 题 7 分 若数列 n a的每一项都不等于零 且对于任意的 nN 都有 2n n
14、a q a q为常数 则称数列 n a为 类等比数列 已知数列 n b满足 1 0 bb bR b 对于任意的 nN 都有 1 1 2 n nn bb 1 求证 数列 n b是 类等比数列 2 若 n b是单调递增数列 求实数b的取值范围 3 设数列 n b的前n项和为 n S 试探讨 1 lim n n nn S bb 是否存在 说明理由 解 1 因为 1 1 2 n nn bb 所以 2 12 2 n nn bb 212 1 2 nnn nnn bbb bb b 所以数列 n b是 类等比数列 4分 2 112 4bb b b 所以 2 4 b b 5分 当n为奇数时 设 21 nkkN
15、则 1 21 2 k nk bbb 当n是偶数时 设 2 nk kN 则 1 1 2 42 2 k k nk bb bb 7分 因为 n b递增 所以 2122122kkkk bbbb 8分 即 12 1 2248 222 kk kk bbbb bbbb 解得 22b 11分 7 3 由 2 知 1 2 1 2 221 1 22 n n n bnk bkN nk b 当n为偶数时 21321242 4 21 k nkkk SSbbbbbbb b LL 当n为奇数时 1 2122 4 21 21 kk nkkk SSSbb b 即 2 11 22 4 21 2 4 21 21 21 n n nn
16、 bnk b SkN bnk b 14分 当n为偶数时 2 2 2 1 1 22 44 21 4 limlim 2 21 22 n n nn nn nn bb Sb bb bbb b b b b 15分 当n为奇数时 11 22 2 112 1 1 22 422 21 21 2 24 limlim 4 1222 22 2 nn n nn nn nn bb Sb bb bbb bb bb 16 分 若 1 lim n n nn S bb 存在 则 22 22 424 24 bb bb 得 2 2 2b 所以 3 4 2b 17分 综上知 当且仅当 3 4 2b时 1 lim n n nn S bb 存在 此时 1 lim2 n n nn S bb 18分
