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1、 1 数学 一 填空题 每小题3 分 共 30 分 1 如果 210 lglglg110 xxxL 那么 210 lglglgxxxL 解 由 210 lglglg110 xxxL得 1210 lg110 xL 解得lg2x 10 210210 2 1 2 lglglg2222046 1 2 xxxLL 2 已知各项均为正数的等比数列 n a的首项 1 1a 公比为q 前n项和为 n S 若 1 lim1 n n n S S 则公比为q的取值范围是 解 首先数列为各项均为正数等比数列 公比0q 其次若1q时 n Sn 易验证满足条件 若0 1qq时 1 1 1 n n q S q 1 1 1
2、01 1 limlim 11 n n n nn n q Sq qqSq 0 1q 3 若数列 n a中 1 1 3 a 且对任意的正整数 p q都有p qpqaa a 则若1q时 2462n aaaaLL 解 211 1 9 aa a 若1q时 11 1 3 pppn aa aaa 是首项和公比都为 1 3 的等比数列 2n a是首项和公比都为 1 9 的等比数列 2462 1 1 9 1 8 1 9 n aaaaLL 4 设 a b c是满足1 9abc 的整数 若0 0 0 0 00abc 成等比数列 则 a b c的 值依次为 2 4 8 解 0 0 00 00 0 0 0 0 00 1
3、0 11 0 110 1 abc abc 由0 0 0 0 00abc 成等比数列 得 2 0 00 0 00bac 2 bac 2 验证 a b c依次为 2 4 8 时满足条件 5 数 列 n a的 前n项和 记 为 n S 已 知53 nn aSn 求 1321 lim n n aaaLL 解 11 53 53 nn nn aS aS 两式相减 得 1 5 nnn aaa 1 1 4 n n a q a 将1n代入53 nn aS得 1 3 4 a 13212 3 4 4 lim 5 1 1 4 n n aaaLL 6 设数列 nn ab均为等差数列 lim4 n n n a b 则 1
4、22 3 lim n n n bbb na L 解 1 1 1 limlim4 1 ana nn nbb and ad bbndd 12 112212 3331 2 221 2 31 n bnn nnna n bb bdn bbbbb nanaaadn L21 36 b a d n d 7 已知等比数列 n a 23 1aa 则使不等式 12 12 111 0 n n aaa aaa L 成立的最大自然数n为 解 由 23 1aa 可知公比01q 所以 33 3 nn n aaqq 设 1 nn n ba a 则 12 0b b 3 0b 45 b b L都小于零 12 12 111 n n
5、aaa aaa L 22112233 110 nn qqqqqqqqqqL 3 3 11 1 nn k k kk q q 5 nnN 故答案为5 3 8 设数列 n a的前n项和为 n S 关于数列 n a有下列三个命题 若 n a即是等差数列 又是等比数列 则 1nn aan 若 2 n Sanbn a b 则 n a是等差数列 若22 nn Sa 则 n a是等比数列 这些命题中 真命题的序号是 9 已知 fx 是定义域为正整数集的函数 具有如下性质 对于定义域内任意的 k 如果 1 1 fk k 成立 则 1 1 2 fknN k 成立 那么下列命题正确的是 若 1 4 5 f成立 则对
6、于任意5k 均有 1 1 fk k 若 1 5 6 f成立 则对于任意14k 均有 1 1 f k k 若 61f 成立 则对于任意 15k 均有 1 1 f k k 解 错误 11 54 65 ff 其逆否命题为 11 45 56 ff 与条件矛盾 故错误 正确由条件知 11 56 67 ff 其逆否命题为 11 65 76 ff 故 1 61 7 f可以推出推出 1 5 6 f 依次可推出任意15k 均有 1 1 fk k 10 把数列 1 21n 的所有数按照从大到小的原则写成如下数表 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 19 L L 1 29
7、 L LL LL L 第k行有 1 2 k 个数 第t行的第s个数 从左数起 记为 A t s 则8 17 A 解 8 1A是数列 1 21n 的第 27 1 1 2221L项 即第 7 2项 4 8 17A是数列 1 21n 的第 7 216项 即第144项 故 11 8 17 2 1441287 A 二 选择题 每小题3 分 共 12 分 11 下列命题中正确的是 D A 公差为0 的等差数列是等比数列 B a bc 成等比数列的充要条件是 2 bac C 公比 1 3 q的等比数列是递减数列 D 1 ab bc 是 a b c成等差数列的充分不必要条件 解 A B中都忽略了等比数列的公比
8、不能为0 C中若首项为负 则数列为递增数列 故选 12 设fx是 定 义 在 上 恒 不 为 零 的 函 数 且 对 任 意 的 实 数 x y 都 有 fx fyfxy 若 1 1 2 a n af nn 则数列 n a的前n项和 n S的取 值范围是 D 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 解 1 1 2 a 2 2 1 2 a 3 312 1 2 aaa L L 1 2 n n a 11 1 122 1 1 2 1 2 n nn S 而 11 0 22 n 1 1 2 n S 13 若把正整数按图所示的规律排序 则从2002 到 2004 年的箭头方向依次为 D 145891
9、2 23671011 L A B C D 解 易得规律 4144 4243 nn nn 所以 20012004 20022003 故选 14 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的 二进制即 逢二进一 如 2 1101表示 二进制的数 将它转换成二进制的形式是 3210 1 21 2021213 5 那么将二进制数 2 11111111转换成十进制的形式是 C A 9 22 B 8 21 C 8 22 D 7 21 解 8 76108 2 1 12 111111111 21 21 21 221 12 L 故选 三 解答题 6 分 6 分 8 分 12 分 12 分 15 已知 n S为等比数列
10、 n a的前n项和 0 n a 2 80 6560 nn SS 前n项中的数值最 大的项为54 求 100 S 解 12121 n nnnnnnn SaaSSaaaaqLLL 而 2 811 n nnn SSSq 所以数列 n a是递增的数列 前n项中的数值最大的项为 n a 故 n a 54 1 1 1100 1 1100 100 1 1 2 54 1 23 31 1 31 80 1 1 1 n n n n a aa q aq aq S aq aqq S q q 16 已知数列 n a满足 2 12 2 111 2222 n n nn aaanL 1 求数列 n a的通项公式 2 求数列 n
11、 a的前n项和 n S 解 1 当1n时 2 11 111 2 22 aa 2 12121 2 12 2 11111 2222 111 2222 nn n n nn aaa nn aaa L L 两式相减 得 1 2 2 n nn n anan 2 设 23 22 23 22 n n SnL 则 231 222 2122 nn n SnnL 两式相减 得 6 2311 2 12 2 22222 12 n nnn n SnnL 1 1 22 n n Sn 17 若n为大于 1 的自然数 求证 11113 12224nnn L 证明 当 2n 时 1113 21424 不等式成立 假定nk时 不等
12、式成立 即 11113 12224kkk L 当 1nk时 111 232 1kkk L 111111 12212122kkkkkk L 1311113 241212224kkk 其中 11111 0 121222122kkkkk 由数学归纳法得命题成立 18 已知等差数列 n a的公差不为0 其前n项和为 n S 等比数列 n b的前n项和为 n B 公 比为q 且1q 求lim nn n nn SB nab 的值 解 1 1 1 1 211 2 22212 n nn nnn n aa andSaa n nanaaand 若1q时 1 1 n n Bna n ba 当n时无极限 若1q时 1
13、 11 1 1 1 11 1 1 n n n nnn n bq q Bqq n q qbb qqq q 无意义 故当1q时 1 lim 21 nn n nn SBq nabq 其他情形极限无意义 19 已知正项数列 n a 1 1 2 a 且 1 2 2 n n n a a a 7 1 求证 1 n a 是等差数列 并求 n a的通项公式 2 数列 n b满足 1 n a n be 若 12 2 m m bbbmmL 仍是 n b中的项 求m在区间 2 2006中的所有可能值之和S 3 若将上述递推关系改为 1 2 2 n n n a a a 且数列 n na中任意项 n nap 试求满足 要
14、求的实数p的取值范围 解 1 对 1 2 2 n n n a a a 两边取倒数 得 1 111 2 nn aa 故 1 n a 是等差数列 又 1 1 2 a 故 1 13 2 22 n n n a 2 12 12 1113 2 111 72 24 12 m m m m aaam m aaa mmm m bbbe eeeee L LL 设 1 2 m m bbbL是 n b中的第n项 则 73 42 mn 73 21 42 mn mn 所以 1002 32005 10021004 1006008 2 S 3 对 1 2 2 n n n a a a 两边取倒数 得 1 111 2 nn aa 11222211 111111111113 21 22 nnnnnn n n aaaaaaaaaa L 2 3 n n na n 而 2 2 3 n n 所以2 p
