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1、第1页 共 50页 一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1 变量 在一个变化过程中可以取不同数值的量 常量 在一个变化过程中只能取同一数值的量 例题 在匀速运动公式vts中 v表示速度 t表示时间 s表示在时间t内所走的路程 则变量是 常量是 在圆的周长公式C 2 r 中 变量是 常量是 2 函数 一般的 在一个变化过程中 如果有两个变量x 和 y 并且对于x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与其 对应 那么我们就把x 称为自变量 把y 称为因变量 y 是 x 的函数 判断 Y 是否为 X 的函数 只要看X 取值确定的时候 Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题 下列函数 1 y x
2、2 y 2x 1 3 y 1 x 4 y 2 1 3x 5 y x2 1 中 是一次函数的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 3 定义域 一般的 一个函数的自变量允许取值的范围 叫做这个函数的定义域 4 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 例题 下列函数中 自变量x 的取值范围是x 2 的是 A y 2xB y 1 2x C y 2 4xD y 2x 2x
3、 函数5yx中自变量x 的取值范围是 已知函数2 2 1 xy 当11x时 y 的取值范围是 A 2 3 2 5 yB 2 5 2 3 yC 2 5 2 3 yD 2 5 2 3 y 5 函数的图像 一般来说 对于一个函数 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横 纵坐标 那么坐标平面内由这些点 组成的图形 就是这个函数的图象 6 函数解析式 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式 7 描点法画函数图形的一般步骤 第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 第二步 描点 在直角坐标系中 以自变量的值为横坐标 相应的函数值为纵坐标 描出表格中数值对应的各点 第三步
4、 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来 8 函数的表示方法 列表法 一目了然 使用起来方便 但列出的对应值是有限的 不易看出自变量与函数之间的对应规律 解析式法 简单明了 能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系 但有些实际问题中的函数关 系 不能用解析式表示 图象法 形象直观 但只能近似地表达两个变量之间的函数关系 9 正比例函数及性质 一般地 形如y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中k 叫做比例系数 注 正比例函数一般形式y kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k 0 时 直线y kx 经过三 一象限 从左
5、向右上升 即随x 的增大 y 也增大 当k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当b0 图象经过第一 三象限 k0 图象经过第一 二象限 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线y kx 的图象向上平移b 个单位 上加下减 左加右减 当 b0 b经过第一 二 三象限经过第一 三 四象限经过第一 三象限 第3页 共 50页 0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 b0 或 ax b 0 a b为常数 a 0 的形式 所以解一元一次不等式可以 看作 当一次函数值大 小 于0 时 求自变量的取值范围 17 一次函数与二
6、元一次方程组 1 以二元一次方程ax by c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y b c x b a 的图象相同 2 二元一次方程组 222 111 cybxa cybxa 的解可以看作是两个一次函数y 1 1 1 1 b c x b a 和 y 2 2 2 2 b c x b a 的图象交点 18 一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数y kx b 的图象与两条坐标轴的交点 与y 轴的交点 0 b 与 x 轴的交点 k b 0 直线 b 0 与两坐标轴围成的三角形面积为s k b b k b 22 1 2 常见题型 一 考察一次函数定义 1 若函数 2 13 m ymx 是
7、 y 关于 x 的一次函数 则m的值为 解析式为 2 要使 y m 2 xn 1 n 是关于 x 的一次函数 n m 应满足 二 考查图像性质 1 已知一次函数y m 2 x m 3 的图像经过第一 第三 第四象限 则m 的取值范围是 2 若一次函数y 2 m x m 的图像经过第一 二 四象限 则 m 的取值范围是 3 已知m是整数 且一次函数 4 2ymxm的图象不过第二象限 则m为 4 直线ykxb经过一 二 四象限 则直线ybxk的图象只能是图4 中的 5 直线0pxqyr 0 pq如图 5 则下列条件正确的是 第5页 共 50页 1A pq r 0B pq r 1C pq r 0D
8、pq r 6 如果0ab 0 a c 则直线 ac yx bb 不通过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 7 如图 6 两直线 1 ykxb和 2 ybxk在同一坐标系内图象的位置可能是 8 如果0ab 0 a c 则直线 ac yx bb 不通过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 9 b为时 直线2yxb与直线34yx的交点在 x轴上 10 要得到y 3 2 x 4 的图像 可把直线y 3 2 x A 向左平移4 个单位 B 向右平移4 个单位 C 向上平移4 个单位 D 向下平移4 个单位 11 已知一次函数y kx 5 如果点 P1 x1 y1 P2 x2
9、 y2 都在函数的图像上 且当x1 x2时 有 y1y2 B y1 y2 C y1 y2 D 不能比较 三 交点问题 1 若直线y 3x 1 与 y x k 的交点在第四象限 则k 的取值范围是 A k 1 3 B 1 3 k1 D k 1 或 k 1 3 2 若直线yxa和直线yxb的交点坐标为 8 m 则ab 3 一次函数ykxb的图象过点 1 m和 1 m两点 且1m 则k b的取值范围是 4 直线ykxb经过点 1 Am 1 B m 1 m 则必有 A 0 0kb 0 0B kb 0 0C kb 0 0D kb 5 如图所示 已知正比例函数 xy 2 1 和一次函数 bxy 它们的图像
10、都经过点P a 1 且一次函数图像与y 轴交于 Q 点 1 求 a b 的值 2 求 PQO 的面积 四 面积问题 1 若直线 y 3x 6 与坐标轴围成的三角形的面积为S 则 S等于 A 6 B 12 C 3 D 24 2 若一次函数y 2x b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9 则 b 3 已知一次函数2yxa与yxb的图像都经过 2 0 A 且与y轴分别交于点B c 则ABC的面积为 A 4 B 5 C 6 D 7 4 已知一次函数y kx b 的图像经过点 1 5 且与正比例函数 1 y x 2 的图像相交于点 2 a 求 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图像与x 轴
11、所围成的三角形面积 第6页 共 50页 五 一次函数解析式的求法 1 定义型例 1 已知函数ymx m 33 2 8 是一次函数 求其解析式 2 点斜型例 2 已知一次函数ykx3的图像过点 2 1 求这个函数的解析式 3 两点型例 3 已知某个一次函数的图像与x 轴 y 轴的交点坐标分别是 2 0 0 4 则这个函数的解析式为 4 图像型例 4 已知某个一次函数的图像如图所示 则该函数的解析式为 5 斜截型例 5 已知直线ykxb与直线yx2平行 且在y 轴上的截距为2 则直线的 解析式为 6 平移型例 6 把直线yx21向上平移2 个单位得到的图像解析式为 把直线yx21向下平移2 个单位
12、得到的图像解析式为 把直线yx21向左平移2 个单位得到的图像解析式为 把直线yx21向右平移2 个单位得到的图像解析式为 规律 7 实际应用型例 7 某油箱中存油20 升 油从管道中匀速流出 流速为0 2 升 分钟 则油箱中剩油量Q 升 与 流出时间t 分钟 的函数关系式为 8 面 积 型例8 已 知 直 线ykx4与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 等 于4 则 直 线 解 析 式 为 9 对称型例 9 若直线 l 与直线yx21关于 y 轴对称 则直线l 的解析式为 知识归纳 若直线l与直线ykxb关于 1 x 轴对称 则直线l 的解析式为ykxb 2 y 轴对称 则
13、直线l 的解析式为ykxb 3 直线 y x 对称 则直线l 的解析式为y k x b k 1 4 直线yx对称 则直线l 的解析式为y k x b k 1 5 原点对称 则直线l 的解析式为ykxb 10 开放型例 10 一次函数的图像经过 1 2 且函数 y 的值随 x 的增大而增大 请你写出一个符合上述条件的函数关 系式 11 比例型例 11 已知 y 与 x 2 成正比例 且x 1 时 y 6 求 y 与 x 之间的函数关系式 练习题 1 已知直线y 3x 2 当 x 1 时 y 2 已知直线经过点A 2 3 B 1 3 则直线解析式为 3 点 1 2 在直线y 2x 4 上吗 填在或
14、不在 4 当 m时 函数y m 2 3 2 m x 5 是一次函数 此时函数解析式为 5 已知直线y 3x b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6 则函数的解析式为 6 已知变量y 和 x 成正比例 且x 2 时 y 2 1 则 y 和 x 的函数关系式为 7 点 2 5 关于原点的对称点的坐标为 关于 x轴对称的点的坐标为 关于 y轴对称的点的坐标为 8 直线 y kx 2 与 x 轴交于点 1 0 则 k 9 直线 y 2x 1 与 x轴的交点坐标为与 y 轴的交点坐标 10 若直线 y kx b 平行直线y 3x 4 且过点 1 2 则 k 11 已知 A 1 2 B 1 1 C 5 1
15、 D 2 4 E 2 2 其中在直线y x 6 上的点有 在直线y 3x 4 上的点 y 2 O 1 x 第7页 共 50页 有 12 某人用充值50 元的 IC 卡从 A 地向 B 地打长途电话 按通话时间收费 3 分钟内收费2 4 元 以后每超过1 分钟加收 1 元 若此人第一次通话t 分钟 3 t 45 则 IC 卡上所余的费用y 元 与t 分 之间的关系式是 13 某商店出售一种瓜子 其售价y 元 与瓜子质量x 千克 之间的关系如下表 质量 x 千克 1 2 3 4 售价 y 元 3 60 0 20 7 20 0 20 10 80 0 20 14 40 0 2 由上表得y 与 x 之间
16、的关系式是 14 已知 一次函数的图象与正比例函数Y 3 2 X平行 且通过点 0 4 1 求一次函数的解析式 2 若点 M 8 m 和 N n 5 在一次函数的图象上 求 m n 的值 15 已知一次函数y kx b 的图象经过点 1 5 且与正比例函数y 1 2 x 的图象相交于点 2 a 求 1 a 的值 2 k b 的值 3 这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积 16 有两条直线baxy1 ccxy5 2 学生甲解出它们的交点坐标为 3 2 学生乙因把c 抄错了而解出它 们的交点坐标为 4 1 4 3 求这两条直线解析式 17 已知正比例函数xky 1 的图象与一次函数9 2x ky的图象交于点P 3 6 1 求 21 k k的值 2 如果一次函数9 2x ky与 x 轴交于点A 求 A 点坐标 18 某种拖拉机的油箱可储油40L 加满油并开始工作后 油箱中的余油量y L 与工作时间x h 之间为一次函数关 系 如图所示 1 求 y 与 x 的函数解析式 2 一箱油可供拖位机工作几小时 六 分段函数 1 某自来水公司为鼓励居民节约用水 采取按月用水量收费办法 若某户居民应交
