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1、2019 年高考全国 卷理数试题 1 已知集合 则 A B C D 答案 C 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法 渗透了数学运算素养 采取数轴法 利用数 形结合的思想解题 解析 由题意得 则 故选 C 2 设复数z满足 z在复平面内对应的点为 x y 则 A B C D 答案 C 本题考点为复数的运算 为基础题目 难度偏易 此题可采用几何法 根据点 x y 和点 0 1 之间的距离为1 可选正确答案C 解析 则 故选 C 3 已知 则 A B C D 答案 B 运用中间量比较 运用中间量比较 解析 则 故 选 B 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
2、 0 618 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如此 此外 最美人体的 头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例 且腿长为 105cm 头顶至脖子下端的长度为26 cm 则其身高可能是 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190cm 答案 B 理解黄金分割比例的含义 应用比例式列方程求解 解 析 设 人 体 脖 子 下 端 至 肚 脐 的 长 为xcm 肚 脐 至 腿 根 的 长 为ycm 则 得 又其腿长为105cm 头顶至脖子下端的 长度为 26cm 所以其身高约为42 07 5 15 105 26 178 22 接近 175
3、cm 故选 B 5 函数f x 在 的图像大致为 A B C D 答案 D 先判断函数的奇偶性 得是奇函数 排除A 再注意到选项的区别 利用特殊值得正确 答案 解析 由 得是奇函数 其图象关于原 点对称 又 故选 D 6 我国古代典籍 周易 用 卦 描述万物的变化 每一 重卦 由从下到上排列的6 个爻 组成 爻分为阳爻 和阴爻 如图就是一重卦 在所有重卦中随机取一重 卦 则该重卦恰有3 个阳爻的概率是 A B C D 答案 A 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题 渗透了传统文化 数学计算 等数学素养 重卦 中每一爻有两种情况 基本事件计算是住店问题 该重卦恰有3 个阳 爻是
4、相同元素的排列问题 利用直接法即可计算 解析 由题知 每一爻有2 中情况 一重卦的6 爻有情况 其中6 爻中恰有3 个阳爻 情况有 所以该重卦恰有3 个阳爻的概率为 故选 A 7 已知非零向量a b满足 2 且 a b b 则a与b的夹角为 A B C D 答案 B 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度 夹角与垂直问题 渗透了转化与化归 数 学计算等数学素养 先由得出向量的数量积与其模的关系 再利用向量夹角公 式即可计算出向量夹角 解 析 因 为 所 以 0 所 以 所 以 所以与 的夹角为 故选 B 迁移 对向量夹角的计算 先计算出向量的数量积及各个向量的摸 在利用向量夹角公式 求出夹
5、角的余弦值 再求出夹角 注意向量夹角范围为 8 如图是求程序框图 图中空白框中应填入 A A B A C A D A 答案 A 本题主要考查算法中的程序框图 渗透阅读 分析与解决问题等素养 认真分析式子结构特 征与程序框图结构 即可找出作出选择 解析 执行第1 次 是 因为第一次应该计算 2 循环 执行第2 次 是 因为第二次应该计算 3 循 环 执行第3 次 否 输出 故循环体为 故选 A 迁移 秒杀速解认真观察计算式子的结构特点 可知循环体为 9 记为等差数列的前n项和 已知 则 A B C D 答案 A 等差数列通项公式与前n 项和公式 本题还可用排除 对 B 排 除B 对C 排 除C
6、对D 排除 D 故选 A 解析 由题知 解得 故选 A 10 已知椭圆C 的焦点为 过F2的直线与C交于A B两点 若 则C的方程为 A B C D 答案 B 由 已 知 可 设 则 得 在中 求 得 再在中 由余弦定理得 从而可求解 解析 法一 如图 由已知可设 则 由椭圆的定义 有 在中 由 余 弦 定 理 推 论 得 在中 由余弦定理得 解得 所求椭圆方程为 故选 B 法二 由已知可设 则 由椭圆的定义有 在和中 由余弦定理得 又互补 两式消去 得 解得 所求椭圆方程为 故选 B 迁移 本题考查椭圆标准方程及其简单性质 考查数形结合思想 转化与化归的能力 很好的落实了直观想象 逻辑推理等
7、数学素养 11 关于函数有下述四个结论 f x 是偶函数 f x 在区间 单调递增 f x 在有 4 个零点 f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 答案 C 化简函数 研究它性质从而得出正确答案 解析 为偶函数 故 正确 当 时 它在区间单调递减 故 错误 当时 它有两个零点 当时 它有一个零点 故在有 个零点 故 错误 当时 当时 又为偶函数 的最大 值为 故 正确 综上所述 正确 故选C 迁移 画出函数的图象 由图象可得 正确 故选C 12 已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上 PA PB PC ABC是边长为2 的正 三角形 E F分别是PA AB的中点
8、 CEF 90 则球O的体积为 A B C D 答案 D 先证得平面 再求得 从而得为正方体一部分 进而知 正方体的体对角线即为球直径 从而得解 解析 解法一 为边长为2 的等边三角形 为正三棱锥 又 分别为 中点 又 平面 平面 为正方体一部分 即 故选 D 解法二 设 分别为中点 且 为边长为2 的等边三角形 又 中余弦定理 作于 为中点 又 两两垂直 故选 D 13 曲线在点处的切线方程为 答案 本题根据导数的几何意义 通过求导数 确定得到切线的斜率 利用直线方程的点斜式求得 切线方程 解析 解析 所以 所以 曲线在点处的切线方程为 即 迁移 准确求导数是进一步计算的基础 本题易因为导数
9、的运算法则掌握不熟 二导致计 算错误 求导要 慢 计算要准 是解答此类问题的基本要求 14 记Sn为等比数列 an 的前n项和 若 则S5 答案 本题根据已知条件 列出关于等比数列公比的方程 应用等比数列的求和公式 计算得到 题目的难度不大 注重了基础知识 基本计算能力的考查 解析 设等比数列的公比为 由已知 所以又 所以所以 迁移 准确计算 是解答此类问题的基本要求 本题由于涉及幂的乘方运算 繁分式 分式计算 部分考生易出现运算错误 15 甲 乙两队进行篮球决赛 采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利时 该队获胜 决赛 结束 根据前期比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 设甲队主场取
10、胜 的概率为 0 6 客场取胜的概率为0 5 且各场比赛结果相互独立 则甲队以4 1 获胜的概 率是 答案 0 18 本题应注意分情况讨论 即前五场甲队获胜的两种情况 应用独立事件的概率的计算公式求 解 题目有一定的难度 注重了基础知识 基本计算能力及分类讨论思想的考查 解 析 前 四 场 中 有 一 场 客 场 输 第 五 场 赢 时 甲 队 以获 胜 的 概 率 是 前四场中有一场主场输 第五场赢时 甲队以获胜的概率是 综上所述 甲队以获胜的概率是 迁移 由于本题题干较长 所以 易错点之一就是能否静心读题 正确理解题意 易错点 之二是思维的全面性是否具备 要考虑甲队以获胜的两种情况 易错点
11、之三是是否能够 准确计算 16 已知双曲线C 的左 右焦点分别为F1 F2 过F1的直线与C的 两条渐近线分别交于A B两点 若 则C的离心率为 答案 2 通过向量关系得到和 得到 结合双曲线的渐近线可得 从而由可求离心率 解析 如图 由得又得 OA 是三角形的中位线 即 由 得则有 又 OA 与 OB 都是渐近线 得又 得 又渐近线OB 的斜率为 所以该双曲线的离 心率为 一 必考题 共60 分 17 的内角A B C的对边分别为a b c 设 1 求A 2 若 求 sinC 答案 1 2 1 利用正弦定理化简已知边角关系式可得 从而可整理出 根据 可求得结果 2 利用正弦定理可得 利用 两
12、角和差正弦公式可得关于和的方程 结合同角三角函数关系解方程可求得结果 解析 1 即 由正弦定理可得 2 由正弦定理得 又 整理可得 解得 或 因为所以 故 2 法二 由正弦定理得 又 整理可得 即 由 所以 迁移 本题考查利用正弦定理 余弦定理解三角形的问题 涉及到两角和差正弦公式 同 角三角函数关系的应用 解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简 得到余弦定 理的形式或角之间的关系 18 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N分别是BC BB1 A1D的中点 1 证明 MN 平面C1DE 2 求二面角A MA1 N的正弦值
13、答案 1 见解析 2 解析 分析 1 利用三角形中位线和可证得 证得四边形为平行四边形 进 而证得 根据线面平行判定定理可证得结论 2 以菱形对角线交点为原点 可建立空间直角坐标系 通过取中点 可证得平面 得到平面的法向量 再通过向量法求得平面的法向量 利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余 弦值 进而可求得所求二面角的正弦值 解析 1 连接 分别为 中点为的中位线 且 又为中点 且且 四边形为平行四边形 又平面 平面 平面 2 设 由直四棱柱性质可知 平面 四边形为菱形 则以为原点 可建立如下图所示的空间直角坐标系 则 D 0 1 0 取中点 连接 则 四边形为菱形且为等边三角形 又平面 平
14、面 平面 即平面 为平面的一个法向量 且 设平面的法向量 又 令 则 二面角的正弦值为 迁移 本题考查线面平行关系的证明 空间向量法求解二面角的问题 求解二面角的关键 是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系 从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角 的正弦值 属于常规题型 19 已知抛物线C y2 3x的焦点为F 斜率为的直线l与C的交点为A B 与x轴的交 点为P 1 若 AF BF 4 求l的方程 2 若 求 AB 答案 1 2 1 设直线 根据抛物线焦半径公式可得 联 立直线方程与抛物线方程 利用韦达定理可构造关于的方程 解方程求得结果 2 设直 线 联立直线方程与抛物线方程 得到韦达定
15、理的形式 利用可得 结合韦达定理可求得 根据弦长公式可求得结果 解析 1 设直线方程为 由抛物线焦半径公式可知 联立得 则 解得 直线 的方程为 即 2 设 则可设直线方程为 联立得 则 则 迁移 本题考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的综合应用问题 涉及到平面向量 弦 长公式的应用 关键是能够通过直线与抛物线方程的联立 通过韦达定理构造等量关系 20 已知函数 为的导数 证明 1 区间存在唯一极大值点 2 有且仅有 2 个零点 答案 1 见解析 2 见解析 1 求得导函数后 可判断出导函数在上单调递减 根据零点存在定理可判断出 使得 进而得到导函数在上的单调性 从而可证得结论 2 由 1 的
16、结论可知为在上的唯一零点 当时 首先可判断出在 上无零点 再利用零点存在定理得到在上的单调性 可知 不存在零点 当时 利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点 当 可证得 综合上述情况可证得结论 解析 1 由题意知 定义域为 且 令 在上单调递减 在上单调递减 在上单调递减 又 使得 当时 时 即在上单调递增 在上单调递减 则为唯一的极大值点 即 在区间上存在唯一的极大值点 2 由 1 知 当时 由 1 可知在上单调递增 在上单调递减 又 为在上唯一零点 当时 在上单调递增 在上单调递减 又 在上单调递增 此时 不存在零点 又 使得 在上单调递增 在上单调递减 又 在上恒成立 此时不存在零点 当时 单调递减 单调递减 在上单调递减 又 即 又在上单调递减 在上存在唯一零点 当时 即在上不存在零点 综上所述 有且仅有个零点 迁移 本题考查导数与函数极值之间的关系 利用导数解决函数零点个数的问题 解决零 点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点 另一方面是利用函数的 单调性说明在区间内零点的唯一性 二者缺一不可 21 为了治疗某种疾病 研制了甲 乙两种新药 希望知
