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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分 全卷共4 页 选择题部分1 至 2 页 非选择题部分3 至 4 页 满分 150 分 考试用时120 分钟 考生注意 1 答题前 请务必将自己的姓名 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上 2 答题时 请按照答题纸上 注意事项 的要求 在答题纸相应的位置上规范作答 在本试题卷上的 作答一律无效 参考公式 若事件 A B 互斥 则 P ABP AP B 若事件 A B 相互独立 则 P ABP A P B 若事件 A 在一次试验中发生的概率是p 则 n 次 独立重复试验中事件A
2、恰好发生k 次的概率 C 1 0 1 2 kkn k nn P kppknL 台体的体积公式 1122 1 3 VSSSS h 其中 12 S S 分别表示台体的上 下底面积 h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积 h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积 h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 34 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分 共 40 分 一 选择题 本大题共10 小题 每小题4 分 共40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知全集1 0 1 2 3U 集合0 1 2A 1
3、0 1B 则 UA BIe A 1 B 0 1 C 1 2 3 D 1 0 1 3 2 渐近线方程为x y 0 的双曲线的离心率是 A 2 2 B 1 C 2D 2 3 若实数x y 满足约束条件 340 340 0 xy xy xy 则 z 3x 2y 的最大值是 A 1 B 1 C 10 D 12 4 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家 他提出的 幂势既同 则积不容异 称为祖暅原理 利用该原理 可以得到柱体的体积公式V柱体 Sh 其中 S是柱体的底面积 h 是柱体的高 若某柱体的三视图如图所示 单位 cm 则该柱体的体积 单位 cm3 是 A 158 B 162 C 182 D 324 5
4、若 a 0 b 0 则 a b 4 是 ab 4 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 6 在同一直角坐标系中 函数y 1 x a y loga x 1 2 a 0 且 a 1 的图象可能是 7 设 0 a 1 则随机变量X 的分布列是 则当 a在 0 1 内增大时 A D X 增大 B D X 减小 C D X 先增大后减小D D X 先减小后增大 8 设三棱锥V ABC 的底面是正三角形 侧棱长均相等 P 是棱 VA 上的点 不含端点 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 二面角P AC B 的平面角为
5、 则 A B C D 9 已知 a bR 函数 32 0 11 1 0 32 x x f x xaxax x 若函数 yf xaxb恰有 3 个零点 则 A a 1 b 0 B a0 C a 1 b 1 b 0 10 设 a b R 数列 an 满足 a1 a an 1 an2 b b N 则 A 当 b 1 2 时 a10 10 B 当 b 1 4 时 a10 10 C 当 b 2 时 a10 10 D 当 b 4 时 a10 10 非选择题部分 共 110分 二 填空题 本大题共7 小题 多空题每题6 分 单空题每题4 分 共 36 分 11 复数 1 1i z i为虚数单位 则 z 12
6、 已知圆C的圆心坐标是 0 m 半径长是r 若直线230 xy与圆C 相切于点 2 1 A 则 m r 13 在二项式 9 2 x的展开式中 常数项是 系数为有理数的项的个数是 14 在ABC 中 90ABC 4AB 3BC 点D在线段AC上 若45BDC 则BD cosABD 15 已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F 点P在椭圆上且在x轴的上方 若线段PF的中点在以原点O为 圆心 OF 为半径的圆上 则直线 PF的斜率是 16 已知aR 函数 3 f xaxx 若存在tR 使得 2 2 3 f tf t 则实数a的最大值是 17 已知正 方形ABCD的边 长为1 当 每个 1 2
7、3 4 5 6 i i取 遍1时 123456 ABBCCDDAACBD uuu ruu u ruuu ru uu ruuu ruuu r 的最小值是 最大值是 三 解答题 本大题共5 小题 共74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分14 分 设函数 sin f xx xR 1 已知 0 2 函数 f x是偶函数 求的值 2 求函数 22 124 yf xfx的值域 19 本小题满分15 分 如图 已知三棱柱111ABCA B C 平面11A ACC平面ABC 90ABC 11 30 BACA AACAC E F分别是 AC A1B1的中点 1 证明 EFBC 2 求
8、直线EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 20 本小题满分15 分 设等差数列 n a的前n 项和为 n S 3 4a 43 aS 数列 n b满足 对每个 12 nnnnnn nSbSbSbN 成等比数列 1 求数列 nn ab的通项公式 2 记 2 n n n a cn b N证明 12 2 n cccn nNL 21 本小题满分15 分 如图 已知点 10 F 为抛物线 2 2 0 ypx p的焦点 过点F 的直线交抛物线 于 A B 两点 点C 在抛物线上 使得ABC 的重心 G 在 x 轴上 直线AC 交 x 轴于点 Q 且 Q 在点 F 的右侧 记 AFGCQG 的面积分别为 1
9、2 S S 1 求 p 的值及抛物线的标准方程 2 求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标 22 本小题满分15 分 已知实数 0a 设函数 ln1 0 fxaxxx 1 当 3 4 a时 求函数 f x的单调区间 2 对任意 2 1 e x均有 2 x f x a 求a的取值范围 注 e 2 71828 为自然对数的底数 2019年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 数学 参 考 答 案 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题4分 满分 40分 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 多空题每
10、题6分 单空题每题4分 共 36分 11 2 2 12 2 513 16 2 514 122 72 510 15 1516 4 3 17 0 2 5 三 解答题 本大题共5小题 共 74分 18 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识 同时考查运算求解能力 满分14分 1 因为 sin f xx是偶函数 所以 对任意实数x都有sin sin xx 即sin coscos sinsincoscos sinxxxx 故2sin cos0 x 所以cos0 又 0 2 因此 2 或 3 2 2 22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1cos 21 cos 2 13362 1co
11、s2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此 函数的值域是 33 1 1 22 19 本题主要考查空间点 线 面位置关系 直线与平面所成的角等基础知识 同时考查空间想象能力和 运算求解能力 满分15分 方法一 1 连接 A1E 因为 A1A A1C E是 AC的中点 所以 A1E AC 又平面 A1ACC1 平面 ABC A1E 平面 A1ACC1 平面 A1ACC1 平面 ABC AC 所以 A1E 平面 ABC 则 A1 E BC 又因为 A1F AB ABC 90 故 BC A1F 所以 BC 平面 A1EF 因此 EF BC 2 取 BC中点 G 连接 EG
12、GF 则 EGFA1是平行四边形 由于 A1E 平面 ABC 故 A1E EG 所以平行四边形 EGFA1为矩形 由 1 得 BC 平面 EGFA1 则平面 A1BC 平面 EGFA1 所以 EF在平面 A1BC上的射影在直线 A1G上 连接 A1G交EF于O 则 EOG是直线 EF与平面 A1BC所成的角 或其补角 不妨设 AC 4 则在 Rt A1EG中 A1E 2 3 EG 3 由于 O为A1G的中点 故 1 15 22 AG EOOG 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此 直线 EF与平面 A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二 1 连接A1E 因为
13、A1A A1C E是AC的中点 所以A1E AC 又平面 A1ACC1 平面 ABC A1E 平面 A1ACC1 平面 A1ACC1 平面 ABC AC 所以 A1 E 平面 ABC 如图 以点 E为原点 分别以射线EC EA1为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系E xyz 不妨设 AC 4 则 A1 0 0 2 3 B 3 1 0 1 3 3 2 3 B 3 3 2 3 22 F C 0 2 0 因此 3 3 2 3 22 EF u uu r 3 1 0 BC uuu r 由 0EF BC uu u r u uu r 得EFBC 2 设直线 EF与平面 A1BC所成角为 由 1 可得 1
14、31 0 022 3 BCAC uuu ruuuu r 设平面 A1BC的法向量为 n xyz 由 1 0 0 BC AC u uu r n n 得 30 30 xy yz 取n 131 故 4 sin cos 5 EF EF EF u uu r u uu r uuu r n n n 因此 直线 EF与平面 A1BC所成的角的余弦值为 3 5 20 本题主要考查等差数列 等比数列 数列求和 数学归纳法等基础知识 同时考查运算求解能力和综 合应用能力 满分15分 1 设数列 n a的公差为 d 由题意得 111 24 333adadad 解得 1 0 2ad 从而 22 n annN 所以 2
15、n SnnnN 由 12 nnnnnn SbSbSb成等比数列得 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nnnn bSS S d 所以 2 n bnn nN 2 221 22 1 1 n n n ann cn bn nn n N 我们用数学归纳法证明 i 当 n 1时 c1 00 1 2 2 113 2221 3 4323 4 24 S m Smm m m m m 当3m时 1 2 S S 取得最小值 3 1 2 此时 G 2 0 22 本题主要考查函数的单调性 导数的运算及其应用 同时考查逻辑思维能力和综合应用能力 满分15 分 1 当 3 4 a时 3 ln1 0 4 f
16、 xxx x 31 12 2 11 4 2 141 xx f x x xxx 所以 函数 f x的单调递减区间为 0 3 单调递增区间为 3 2 由 1 1 2 f a 得 2 0 4 a 当 2 0 4 a时 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a 则2 2t 设 2 212ln 2 2g ttxtxx t 则 2 11 1 2ln x g tx tx xx i 当 1 7 x时 1 12 2 x 则 22 842 12lng tgxxx 记 1 42 2 1ln 7 p xxxx x 则 2212121 11 xxxx p x xxxx x 1 1 221 1 1 12 xxx xxxxx 故 x 1 7 1 1 7 1 1 p x 0 p x 1 7 p单调递减 极小值 1 p 单调递增 所以 1 0p xp 因此 22 2 0g tgp x ii 当 2 11 e7 x 时 12ln 1 1 2 xxx g tg xx 令 2 11 2ln 1 e7 q xxxxx 则 ln2 10 x q x x 故 q x在 2 11 e7 上单调
