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1、2019 年高考北京卷文科数学试题 1 已知集合A x 1 x1 则A B A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 2 已知复数z 2 i 则z z A 3 B 5 C 3 D 5 3 下列函数中 在区间 0 上单调递增的是 A 1 2 yx B y 2 x C 1 2 logyx D 1 y x 4 执行如图所示的程序框图 输出的s值为 A 1 B 2 C 3 D 4 5 已知双曲线 2 2 2 1 x y a a 0 的离心率是 5 则a A 6 B 4 C 2 D 1 2 6 设函数f x cosx bsinx b为常数 则 b 0 是 f x 为偶函数 的 A 充分而不必要条件 B 必
2、要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 在天文学中 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 两颗星的星等与亮度满足 21 2 1 5 2 lg E mm E 其中星等为 k m的星的亮度为 k E k 1 2 已知太阳的星等是 26 7 天狼星的星等是 1 45 则太阳与天狼星的亮度的比值为 A 10 10 1 B 10 1 C lg10 1 D 10 1 10 8 如图 A B是半径为2 的圆周上的定点 P为圆周上的动点 APB是锐角 大小为 图中阴影区域的面积的最大值为 A 4 4cos B 4 4sin C 2 2cos D 2 2sin 第二部分 非选择题共 11
3、0 分 二 填空题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 已知向量 a 4 3 b 6 m 且a b 则m 10 若x y满足 2 1 4310 x y xy 则 yx的最小值为 最大值为 11 设抛物线y 2 4x 的焦点为F 准线为l 则以F为圆心 且与l相切的圆的方程为 12 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得 其三视图如图所示 如果网格纸上小 正方形的边长为1 那么该几何体的体积为 13 已知l m是平面外的两条不同直线 给出下列三个论断 l m m l 以其中的两个论断作为条件 余下的一个论断作为结论 写出一个正确的命题 14 李明自主创业 在网上经营一家水果店 销售的水果
4、中有草莓 京白梨 西瓜 桃 价格依次为60 元 盒 65 元 盒 80 元 盒 90 元 盒 为增加销量 李明对这四种水 果进行促销 一次购买水果的总价达到120 元 顾客就少付x元 每笔订单顾客网上支 付成功后 李明会得到支付款的80 当x 10 时 顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒 需要支付 元 在促销活动中 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折 则x 的最大值为 三 解答题共6 小题 共80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题13 分 在 ABC中 a 3 2bc cosB 1 2 求b c的值 求 sin B C 的值 16 本小题13 分 设 an
5、 是等差数列 a1 10 且a2 10 a3 8 a4 6成等比数列 求 an 的通项公式 记 an 的前n项和为Sn 求Sn的最小值 17 本小题12 分 改革开放以来 人们的支付方式发生了巨大转变 近年来 移动支付已成为主要支付方 式之一 为了解某校学生上个月A B两种移动支付方式的使用情况 从全校所有的1000 名学生中随机抽取了100 人 发现样本中A B 两种支付方式都不使用的有5 人 样本 中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下 支付金额 支付方式 不大于 2 000 元大于 2 000 元 仅使用 A27 人3 人 仅使用 B24 人1 人 估计该校学生中上个月A B
6、 两种支付方式都使用的人数 从样本仅使用B的学生中随机抽取1 人 求该学生上个月支付金额大于2 000 元的概率 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化 现从样本仅使用B的学生中随 机抽查 1 人 发现他本月的支付金额大于2 000 元 结合 的结果 能否认为样本 仅使用 B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化 说明理由 18 本小题14 分 如图 在四棱锥PABCD中 PA平面ABCD 底部ABCD为菱形 E为CD的中点 求证 BD 平面PAC 若 ABC 60 求证 平面PAB 平面PAE 棱PB上是否存在点F 使得CF 平面PAE 说明理由 19 本小题14 分 已知椭
7、圆 22 22 1 xy C ab 的右焦点为 1 0 且经过点 0 1 A 求椭圆C的方程 设O为原点 直线 1 lykxt t与椭圆C交于两个不同点P Q 直线AP 与x轴交于点M 直线AQ与x轴交于点N 若 OM ON 2 求证 直线l经过定点 20 本小题14 分 已知函数 321 4 f xxxx 求曲线 yf x 的斜率为1 的切线方程 当 2 4 x时 求证 6 xf xx 设 F xfxxaaR 记 F x在区间 2 4 上的最大值为M a 当M a 最小时 求a的值 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 绝密 启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学 文
8、北京卷 参考答案 一 选择题 共8 小题 每小题5 分 共 40 分 1 C 2 D 3 A 4 B 5 D 6 C 7 A 8 B 二 填空题 共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 8 10 31 11 22 1 4xy 12 40 13 若 lm l 则m 答案不唯一 14 13015 三 解答题 共6 小题 共 80 分 15 共 13 分 解 由余弦定理 222 2cosbacacB 得 2221 323 2 bcc 因为2bc 所以 2221 2 323 2 ccc 解得5c 所以7b 由 1 cos 2 B得 3 sin 2 B 由正弦定理得 3 3 sinsin 14 a
9、AB b 在ABC 中 BCA 所以 3 3 sin sin 14 BCA 16 共 13 分 解 设 n a的公差为d 因为 110a 所以 234 10 102 103ad ad ad 因为 234 10 8 6aaa 成等比数列 所以 2 324 8106aaa 所以 2 22 43 ddd 解得2d 所以 1 1 212 n aandn 由 知 212 n an 所以 当7n时 0 n a 当 6n时 0 n a 所以 n S的最小值为 630S 17 共 12 分 解 由题知 样本中仅使用A的学生有 27 3 30人 仅使用 B的学生有 24 1 25人 A B两种支付方式都不使用的
10、学生有5人 故样本中 A B两种支付方式都使用的学生有100 30 25 5 40人 估计该校学生中上个月A B两种支付方式都使用的人数为 40 1000400 100 记事件C为 从样本仅使用B的学生中随机抽取1人 该学生上个月的支付金额大 于2 000元 则 1 0 04 25 P C 记事件E为 从样本仅使用B的学生中随机抽查1人 该学生本月的支付金额大于2 000元 假设样本仅使用B的学生中 本月支付金额大于2000元的人数没有变化 则由 II 知 P E 0 04 答案示例 1 可以认为有变化 理由如下 P E比较小 概率比较小的事件一般不容易发生 一旦发生 就有理由认为本月支付 金
11、额大于2000元的人数发生了变化 所以可以认为有变化 答案示例 2 无法确定有没有变化 理由如下 事件E是随机事件 P E比较小 一般不容易发生 但还是有可能发生的 所以无法 确定有没有变化 18 共 14分 解 因为PA平面ABCD 所以PABD 又因为底面ABCD为菱形 所以BDAC 所以BD平面PAC 因为PA 平面ABCD AE平面ABCD 所以PA AE 因为底面ABCD为菱形 ABC 60 且E为CD的中点 所以AE CD 所以AB AE 所以AE 平面PAB 所以平面PAB 平面PAE 棱PB上存在点F 使得CF 平面PAE 取F为PB的中点 取G为PA的中点 连结CF FG E
12、G 则FG AB 且FG 1 2 AB 因为底面ABCD为菱形 且E为CD的中点 所以CE AB 且CE 1 2 AB 所以FG CE 且FG CE 所以四边形CEGF为平行四边形 所以CF EG 因为CF平面PAE EG平面PAE 所以CF 平面PAE 19 共 14 分 解 I 由题意得 b 2 1 c 1 所以a 2 b2 c2 2 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 设P x1 y1 Q x2 y2 则直线AP的方程为 1 1 1 1 y yx x 令y 0 得点M的横坐标 1 1 1 M x x y 又 11 ykxt 从而 1 1 1 M x OMx kxt 同理 2 2
13、1 x ON kxt 由 2 2 1 2 ykxt x y 得 222 12 4220kxktxt 则 12 2 4 1 2 kt xx k 2 122 22 12 t x x k 所以 12 12 11 xx OMON kxtkxt 12 22 1212 1 1 x x k x xk txxt 2 2 2 22 22 22 12 224 1 1 1212 t k tkt kk tt kk 1 2 1 t t 又 2OMON 所以 1 2 2 1 t t 解得t 0 所以直线l经过定点 0 0 20 共 14 分 解 由 321 4 f xxxx得 23 21 4 fxxx 令 1fx 即 2
14、3 211 4 xx 得0 x或 8 3 x 又 0 0f 88 327 f 所以曲线 yf x的斜率为1 的切线方程是yx与 88 273 yx 即yx与 64 27 yx 令 2 4 g xfxx x 由 321 4 g xxx得 23 2 4 g xxx 令 0g x得0 x或 8 3 x g xg x的情况如下 x 2 2 0 0 8 0 3 8 3 8 4 3 4 g x g x60 64 27 0 所以 g x的最小值为6 最大值为0 故6 0g x 即6 xf xx 由 知 当3a时 0 0 3MFgaaa 当3a时 2 2 63MFagaa 当3a时 3M a 综上 当 M a最小时 3a
