《2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案.pdf（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市西城区高三统一测试 数学 理科 2019 4 第 卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 设全集UR 集合 02 Axx 3 1 1 3 B 则集合 U ABIe A 3 1 B 3 1 3 C 1 3 D 1 1 2 若复数 1i 2i z 则在复平面内 z 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 执行如图所示的程序框图 则输出的k 值为 A 4 B 5 C 7 D 9 4 下列直线中 与曲线C 12 24 xt t yt 为参数没有公共点的是 A 2
2、0 xy B 2 40 xy C 2 0 xy D 2 40 xy 输出 开始 否 结束 是 5 设 a b m均为正数 则 ba 是 ama bmb 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图 阴影表示的平面区域W是由曲线0 xy 22 2xy所围成的 若点 P x y 在W内 含边界 则43zxy的最大值和最小值分别为 A 5 2 7 B 5 2 5 2 C 7 5 2 D 7 7 7 团体购买公园门票 票价如下表 购票人数1 5051 100100 以上 门票价格13 元 人11 元 人9 元 人 现某单位要组织其市场部和生产部的员工
3、游览该公园 若按部门作为团体 选择两个不 同的时间分别购票游览公园 则共需支付门票费为1290 元 若两个部门合在一起作为 一个团体 同一时间购票游览公园 则需支付门票费为990 元 那么这两个部门的人数 之差为 A 20 B 30 C 35 D 40 8 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径 那么曲线 42 2xy 围成的平面区域的直径为 A 4 32 B 3 C 2 2 D 4 W O y x 第 卷 非选择题共 110 分 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 在等比数列 n a中 2 1a 5 8a 则数列 n a的前 n 项和 n S 10
4、 设 1F 2F为双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的两个焦点 若双曲线C的两个顶点恰 好将线段 12 F F三等分 则双曲线C的离心率为 11 函数 sin2cos2f xxx的最小正周期 T 如果对于任意的xR 都有 f xa 那 么实数 a 的取值范围是 12 某四棱锥的三视图如图所示 那么此四棱锥的体积为 13 能说明 若sincos 则36090k oo 其中kZ 为假命题的一组 的值是 14 如图所示 玩具计数算盘的三档上各有7 个算珠 现将每档算珠分为左右两部分 左侧 的每个算珠表示数2 右侧的每个算珠表示数1 允许一侧无珠 记上 中 下三档的 数字和分别为 a
5、 b c 例如 图中上档的数字和9a 若 a b c 成等差数列 则不同的分珠计数法有 种 侧 左 视图 正 主 视图 俯视图 2 2 1 三 解答题 本大题共6 小题 共80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分13 分 在 ABC中 已知 222 acbmac 其中mR 判断m能否等于3 并说明理由 若1m 2 7b 4c 求sin A 16 本小题满分14 分 如图 在多面体ABCDEF 中 梯形ADEF与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直 AFDE DEAD ADBE 1 1 2 AFADDE 2AB 求证 BF平面 CDE 求二面角BEFD 的余弦值
6、 判断线段BE 上是否存在点Q 使得 平面CDQ平面 BEF 若存在 求 出 BQ BE 的值 若不存在 说明理由 D A B C E F 17 本小题满分13 分 为培养学生的阅读习惯 某校开展了为期一年的 弘扬传统文化 阅读经典名著 活动 活动后 为了解阅读情况 学校统计了甲 乙两组各10 名学生的阅读量 单位 本 统计 结果用茎叶图记录如下 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以a 表示 若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值 求图中 a 的所有可能取值 将甲 乙两组中阅读量超过 15 本的学生称为 阅读达人 设 3a 现从所有 阅读达人 里任取3 人 求其中乙组的人数X 的分
7、布列和数学期望 记甲组阅读量的方差为 2 0 s 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组 若A的阅读 量为 10 则记新甲组阅读量的方差为 2 1 s 若 A的阅读量为 20 则记新甲组阅读量 的方差为 2 2 s 试比较 2 0 s 2 1 s 2 2 s的大小 结论不要求证明 18 本小题满分13分 设函数 2 e3 x f xmx 其中mR 当 fx 为偶函数时 求函数 h xxfx 的极值 若函数 fx在区间 2 4 上有两个零点 求 m的取值范围 乙 1 2 0 7 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a 8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲 19 本小题满分14 分 已知椭圆W 22
8、 1 4 xy mm 的长轴长为4 左 右顶点分别为 A B 经过点 0 P n的直 线与椭圆W相交于不同的两点 C D 不与点 A B重合 当0n 且直线 CDx轴时 求四边形ACBD 的面积 设 1n 直线 CB 与直线 4x 相交于点M 求证 A D M三点共线 20 本小题满分13 分 如图 设A是由nn 2 n 个实数组成的n 行 n 列的数表 其中 ij a 1 2 i jnL表 示位于第i行第j列的实数 且 1 1 ija 11 a 12 a L 1n a 21 a 22 a L 2n a MM L M 1na2na L nna 定义 1122stststsntn pa aa a
9、a aL 1 2 s tnL为第 s 行与第 t 行的积 若对于任意 s t st1 都有0 st p 则称数表A为完美数表 当 2n 时 试写出一个符合条件的完美数表 证明 不存在10 行 10 列的完美数表 设A为 n 行 n 列的完美数表 且对于任意的1 2 ilL和1 2 jkL 都有1 ij a 证明 kln 北京市西城区高三统一测试 数学 理科 参考答案及评分标准2019 4 一 选择题 本大题共8 小题 每小题5 分 共 40 分 1 B 2 D 3 D 4 C 5 C 6 A 7 B 8 B 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 11 2 2 n 10
10、3 11 2a 12 4 3 13 答案不唯一 如110 o 20 o 14 32 注 第 11 题第一问3 分 第二问2 分 三 解答题 本大题共6 小题 共80 分 其他正确解答过程 请参照评分标准给分 15 本小题满分13 分 解 当3m时 由题可知 222 3acbac 由余弦定理 222 2cosbacacB 3 分 得 222 3 cos 22 acb B ac 4 分 这与cos 1 1 B矛盾 所以m不可能等于3 6 分 由 得 1 cos 22 m B 所以 2 3 B 7 分 因为2 7b 4c 222 acbac 所以 2 16284aa 解得6a 舍 或2a 9 分 在
11、 ABC中 由正弦定理 sinsin ab AB 11 分 得 sin2321 sin 214 2 7 aB A b 13 分 16 本小题满分14 分 解 由底面ABCD 为平行四边形 知 ABCD 又因为AB平面CDE CD平面CDE 所以 AB平面CDE 2 分 同理 AF平面CDE 又因为ABAFAI 所以平面 ABF平面CDE 3 分 又因为BF平面ABF 所以 BF平面CDE 4 分 连接BD 因为平面ADEF平面ABCD 平面ADEF I平面ABCDAD DEAD 所以 DE 平面ABCD 则DE DB 又因为 DEAD ADBE DE BEEI 所以AD平面BDE 则ADBD
12、故 DA DBDE两两垂直 所以以 DA DB DE所在的直线分别为x轴 y轴和z 轴 如图建立空间直角坐标系 6 分 则 0 0 0 D 1 0 0 A 0 1 0 B 1 1 0 C 0 0 2 E 1 0 1 F 所以 0 1 2 BE uuu r 1 0 1 EF uuu r 0 1 0 n为平面DEF的一个法向量 设平面BEF的一个法向量为 x y zm 由0BE uuu r m 0EF uuu r m 得 20 0 yz xz 令1z 得 1 2 1 m 8 分 所以 6 cos 3 m n m n mn 如图可得二面角BEFD为锐角 所以二面角BEFD的余弦值为 6 3 10 分
13、 结论 线段BE上存在点 Q 使得平面CDQ平面BEF 11 分 证明如下 设 0 2 0 1 BQBE uuu ruuu r D AB C E y x z F 所以 0 1 2 DQDBBQ uuu ruuu ruu u r 设平面 CDQ 的法向量为 a b cu 又因为 1 1 0 DC uu u r 所以0DQ uuur u 0DC uuu r u 即 1 20 0 bc ab 12 分 若平面 CDQ平面BEF 则0m u 即20abc 13 分 解得 1 0 1 7 所以线段 BE上存在点 Q 使得平面CDQ 平面 BEF 且此时 1 7 BQ BE 14 分 17 本小题满分13
14、 分 解 甲组10 名学生阅读量的平均值为 1268 10 11 12121721 10 10 乙组 10 名学生阅读量的平均值为 12441213 1616 10 2098 1010 aa 2 分 由题意 得 98 10 10 a 即 2a 3 分 故图中 a 的取值为0或1 4 分 由图可知 甲组 阅读达人 有2 人 乙组 阅读达人 有3 人 由题意 随机变量X的所有可能取值为 1 2 3 5 分 且 21 23 3 5 CC3 1 C10 P X 12 23 3 5 CC3 2 C5 P X 3 3 3 5 C1 3 C10 P X 8 分 所以随机变量的分布列为 123 3 10 3
15、5 1 10 9 分 所以 3319 123 105105 E X 10 分 222 102 sss 13 分 X X P 18 本小题满分13 分 解 由函数 f x 是偶函数 得 fxfx 即 22 e 3e3 xx mxmx 对于任意实数 x都成立 所以0m 2 分 此时 3 3h xxfxxx 则 2 33hxx 由 0hx 解得1x 3 分 当 x 变化时 h x 与 h x的变化情况如下表所示 x 1 1 1 1 1 1 h x 00 h x 极小值 极大值 所以 h x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 5分 所以 h x有极小值 1 2h h x有极大值 1 2h
16、 6 分 由 2 e30 x fxmx 得 2 3 e x x m 所以 fx在区间 2 4 上有两个零点 等价于 直线 ym与曲线 2 3 e x x g x 2 4 x有且只有两个公共点 8 分 对函数 g x 求导 得 2 23 e x xx gx 9 分 由 0gx 解得 1 1x 2 3x 10 分 当 x 变化时 gx 与 g x 的变化情况如下表所示 x 2 1 1 1 3 3 3 4 g x 00 g x 极小值 极大值 所以 g x 在 2 1 3 4 上单调递减 在 1 3 上单调递增 11 分 又因为 2 2 eg 1 2eg 3 6 3 2 e gg 4 13 4 1 e gg 所以当 4 13 2e e m或 3 6 e m时 直线 ym与曲线 2 3 e x x g x 2 4 x有且 只有两个公共点 即当 4 13 2e e m或 3 6 e m时 函数 fx在区间 2 4 上有两个零点 13 分 19 本小题满分14 分 解 由题意 得 2 44am 解得1m 2 分 所以椭圆W方程为 2 2 1 4 x y 3 分 当0n 及直线CDx轴时 易得 0
