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1、 1 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 设 3i 12i z 则 z A 2 B 3 C 2 D 1 2 已知集合1 2 3 4 5 6 72 3 4
2、52 3 6 7UAB 则 U BAI e A 1 6B 1 7C 6 7D 1 6 7 3 已知 0 20 3 2log 0 2 2 0 2abc 则 A B C D 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 51 2 0 618 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如此 此外 最美人体 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割 比例 且腿长为105cm 头顶至脖子下端的长度为26cm 则其身高可能是 abcacbcabbca 2 A 165 cm B 175 cm C 185 cm D 190cm
3、5 函数 f x 2 sin cos xx xx 在 的图像大致为 A B C D 6 某学校为了解1 000 名新生的身体素质 将这些学生编号为1 2 1 000 从这些新生 中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验 若 46 号学生被抽到 则下面4 名学 生中被抽到的是 A 8 号学生B 200 号学生C 616 号学生D 815 号学生 7 tan255 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 8 已知非零向量a b 满足a 2b 且 a b b 则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9 如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图 图中空白
4、框中应填入 3 A A 1 2A B A 1 2 A C A 1 12A D A 1 1 2A 10 双曲线C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为130 则 C 的离心率为 A 2sin40 B 2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 11 ABC 的内角 A B C 的对边分别为a b c 已知 asinA bsinB 4csinC cosA 1 4 则 b c A 6 B 5 C 4 D 3 12 已知椭圆C 的焦点为1 2 1 0 1 0 FF 过F2的直线与C 交于A B 两点 若 22 2 AFF B 1 ABBF 则 C 的方程为 A 2
5、 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 曲线 2 3 e x yxx在点 0 0 处的切线方程为 14 记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 若 13 3 1 4 aS 则 S4 15 函数 3 sin 2 3cos 2 f xxx的最小值为 16 已知 ACB 90 P 为平面 ABC 外一点 PC 2 点 P 到 ACB 两边 AC BC 的距离均 为 3 那么 P 到平面 ABC 的距离为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21
6、 题为必考题 4 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 60 分 17 12 分 某商场为提高服务质量 随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客 每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价 得到下面列联表 满意不满意 男顾客40 10 女顾客30 20 1 分别估计男 女顾客对该商场服务满意的概率 2 能否有95 的把握认为男 女顾客对该商场服务的评价有差异 附 2 2 n adbc K ab cdac bd P K2 k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 18 12 分 记 Sn为等差数列 an 的前
7、n 项和 已知 S9 a5 1 若 a3 4 求 an 的通项公式 2 若 a1 0 求使得 Sn an的 n 的取值范围 19 12 分 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N分别是BC BB1 A1D 的中点 5 1 证明 MN 平面 C1 DE 2 求点 C 到平面 C1DE 的距离 20 12 分 已知函数f x 2sinx xcosx x f x 为 f x 的导数 1 证明 f x 在区间 0 存在唯一零点 2 若 x 0 时 f x ax 求 a 的取值范围 21 12 分 已知点 A B 关于坐标原点O 对称 AB
8、4 M 过点 A B 且与直线x 2 0 相切 1 若 A 在直线 x y 0 上 求 M 的半径 2 是否存在定点P 使得当A 运动时 MA MP 为定值 并说明理由 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 曲线C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t t 为参数 以坐标原点O 为 极 点 x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2cos3sin110 1 求 C 和 l 的直角坐标
9、方程 2 求 C 上的点到l 距离的最小值 6 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 a b c 为正数 且满足abc 1 证明 1 222111 abc abc 2 333 24abbcca 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考答案 一 选择题 1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 D 11 A 12 B 二 填空题 13 y 3x14 5 8 15 4 16 2 三 解答题 7 17 解 1 由调查数据 男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0 8 50 因此男顾客对该商场 服务满意的概率的估计值为0 8 女顾客中对该商
10、场服务满意的比率为 30 0 6 50 因此女顾客对该商场服务满意的概率的 估计值为 0 6 2 2 2 100 402030 10 4 762 50507030 K 由于 4 7623 841 故有 95 的把握认为男 女顾客对该商场服务的评价有差异 18 解 1 设 n a 的公差为 d 由 95 Sa 得 1 40ad 由a3 4得 1 24ad 于是 1 8 2ad 因此 na 的通项公式为 102 n an 2 由 1 得 1 4ad 故 9 5 2 nn n nd and S 由 1 0a 知 0d 故 nn Sa 等价于 2 1110 0nn 解得 1 n 10 所以 n的取值范
11、围是 110 nnnN剟 19 解 1 连结 1 B C ME 因为 M E分别为 1 BB BC 的中点 所以 1 MEB C 且 1 1 2 MEB C 又因为 N为 1 A D 的中点 所以 1 1 2 NDA D 由题设知 11 ABDC 可得 11 BCAD 故 MEND 因此四边形 MNDE为平行四边 8 形 MNED 又 MN 平面 1 C DE 所以 MN 平面 1 C DE 2 过 C作C1E的垂线 垂足为 H 由已知可得 DEBC 1 DEC C 所以 DE 平面 1 C CE 故 DE CH 从而 CH 平面 1 C DE 故 CH的长即为 C到平面 1 C DE 的距离
12、 由已知可得 CE 1 C1C 4 所以 117C E 故 4 17 17 CH 从而点 C到平面 1 C DE 的距离为 4 17 17 20 解 1 设 g xfx 则 cossin1 cosg xxxxg xxx 当 0 2 x 时 0g x 当 2 x 时 0g x 所以 g x 在 0 2 单调递增 在 2 单调递减 又 0 0 0 2 2 ggg 故 g x 在 0 存在唯一零点 所以 fx 在 0 存在唯一零点 2 由题设知 0faf 可得 a 0 9 由 1 知 fx 在 0 只有一个零点 设为 0 x 且当 0 0 xx 时 0fx 当 0 xx 时 0fx 所以 f x 在
13、 0 0 x 单调递增 在 0 x 单调递减 又 0 0 0ff 所以 当 0 x 时 0f x 又当 0 0 ax 时 ax 0 故 f xax 因此 a的取值范围是 0 21 解 1 因为 Me 过点 A B 所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上 由已知 A 在直线 0 x y 上 且 A B 关于坐标原点O 对称 所以M 在直线 yx上 故可设 M a a 因为 Me 与直线 x 2 0相切 所以 Me 的半径为 2 ra 由已知得 2AO 又 MOAO uuu u ru uu r 故可得 22 24 2 aa 解得 0a 或 4a 故 Me 的半径 2r或 6r 2 存在定点 1 0
14、 P 使得 MAMP 为定值 理由如下 设 M x y 由已知得 Me 的半径为 2 2rxAO 由于MO AO u uu u ruuu r 故可得 222 4 2 xyx 化简得 M的轨迹方程为 2 4yx 因为曲线 2 4Cyx 是以点 1 0 P 为焦点 以直线 1x 为准线的抛物线 所以 1MPx 因为 2 1 1MAMPrMPxx 所以存在满足条件的定点P 22 解 1 因为 2 2 1 11 1 t t 且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t 所以 C的直角坐 标方程为 2 2 1 1 4 y xx l 的直角坐标方程为 23110 xy 10 2
15、由 1 可设 C的参数方程为 cos 2sin x y 为参数 C上的点到 l的距离为 4cos11 2cos2 3sin11 3 77 当 2 3 时 4cos11 3 取得最小值 7 故 C上的点到 l 距离的最小值为 7 23 解 1 因为 222222 2 2 2abab bcbc caac 又 1abc 故有 222111abbcca abcabbcca abcabc 所以 222111 abc abc 2 因为 a b c 为正数且 1abc 故有 333333 3 3 abbccaabbcac 3 a b b c a c 3 2 2 2 abbcac 24 所以 333 24ab
16、bcca 11 选择填空解析 1 设 3 12 i z i 则 z A 2 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 因为 3 3 12 17 12 12 12 5 iiii z iii 所以z 2217 55 2 2 已知集合 7 6 5 4 3 2 1 U 5 43 2 A 7 63 2 B 则 ACB U A 6 1 B 7 1 C 7 6 D 7 6 1 答案 12 C 解析 7 6 5 4 3 2 1 U 5 43 2 A 则7 6 1 ACU 又 7 63 2 B 则 7 6 ACB U 故选 C 3 已知 2 log 0 2a 0 2 2b 0 3 0 2c 则 A abc B a cb C c ab D bca 答案 B 解答 由对数函数的图像可知 2 log 0 20a 再有指数函数的图像可知 0 2 21b 0 3 00 21c 于是可得到 acb 4 古希腊时期 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 15 618 0 2 15 称为黄金分割比例 著名的 断臂维纳斯 便是如此 此外 最美人体的头 顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2
