《2019-2020学年新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8..pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新教材高中数学第8章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8..pdf（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8 2 3 倍角公式 学 习 目 标核 心 素 养 1 理解二倍角公式的推导过程 知道倍角公 式与和角公式之间的内在联系 重点 2 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 并 能运用这些公式进行简单的恒等变换 重 点 难点 1 通过倍角公式的推导 培养学生的逻辑推 理核心素养 2 借助倍角公式的应用 提升学生的数学运 算及逻辑推理核心素养 二倍角公式 S2 sin 2 2sin cos C2 cos 2 cos 2 sin 2 2cos2 1 1 2sin2 T2 tan 2 2tan 1 tan 2 思考 你是怎样理解倍角公式中的 倍角 二字的 提示 倍角公式中的 倍角 是相对的 对于两个角的比值
2、等于2 的情况都成立 如 2 是 的二倍角 8 是 4 的二倍角 2 是 4 的二倍角等 1 sin 15 sin 75 的值为 A 1 2 B 1 4 C 3 2 D 3 4 B 原式 sin 15 cos 15 1 2sin 30 1 4 2 计算 1 2sin 222 5 的结果为 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 B 1 2sin 222 5 cos 45 2 2 3 已知 cos 1 3 则 cos 2 等于 7 9 由 cos 1 3 得 cos 2 2cos 2 1 2 1 3 2 1 7 9 利用二倍角公式化简求值 例 1 化简求值 1 cos 4 2 sin 4
3、 2 2 sin 24 cos 24 cos 12 3 1 2sin 2 750 4 tan 150 1 3tan 2 150 2tan 150 思路探究 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项 然后求得 解 1 cos 4 2 sin 4 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 原式 1 2 2sin 24cos 24 cos 12 1 2sin 12cos 12 1 4 2sin 12cos 12 1 4sin 6 1 8 原式 1 8 3 原式 cos 2 750 cos 1 500 cos 4 360 60 cos 60 1 2 原式 1 2
4、4 原式 2tan 2150 1 3tan2 150 2tan 150 1 tan 2 150 2tan 150 1 tan 2 150 1 tan 300 1 tan 360 60 1 tan 60 3 3 原式 3 3 二倍角公式的灵活运用 1 公式的逆用 逆用公式 这种在原有基础上的变通是创新意识的体现 主要形式有 2sin cos sin 2 sin cos 1 2sin 2 cos sin 2 2sin cos 2 sin 2 cos 2 2tan 1 tan 2 tan 2 2 公式的变形 公式间有着密切的联系 这就要求思考时要融会贯通 有目的地活用 公式 主要形式有 1 sin
5、2 sin 2 cos 2 2sin cos sin cos 2 1 cos 2 2cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 2 1 求下列各式的值 1 sin 8 cos 8 2 2sin 2 12 1 3 cos 20 cos 40 cos 80 解 1 原式 2sin 8 cos 8 2 sin 4 2 2 4 2 原式 1 2sin 2 12 2 2 cos 6 4 3 2 3 原式 2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2sin 20 2sin 40 cos 40 cos 80 4sin 20 2sin 80 cos 80 8sin
6、20 sin 160 8sin 20 1 8 利用二倍角公式解决条件求值问题 例 2 1 已知 sin 3cos 那么 tan 2 的值为 A 2 B 2 C 3 4 D 3 4 2 已知 sin 6 1 3 则 cos 2 3 2 的值等于 A 7 9 B 1 3 C 7 9 D 1 3 3 已知 cos 3 4 sin 2 3 是第三象限角 2 求 sin 2 的值 求cos 2 的值 思路探究 1 可先求 tan 再求 tan 2 2 可利用 2 3 2 2 3 求值 3 可先求 sin 2 cos 2 cos 再利用两角和的余弦公式求cos 2 1 D 2 C 1 因为 sin 3co
7、s 所以 tan 3 所以 tan 2 2tan 1 tan 2 2 3 1 3 2 3 4 2 因为 cos 3 sin 2 3 sin 6 1 3 所以 cos 2 3 2 2cos 2 3 1 2 1 3 2 1 7 9 3 解 因为 是第三象限角 cos 3 4 所以 sin 1 cos 2 7 4 所以 sin 2 2sin cos 2 7 4 3 4 3 7 8 因为 2 sin 2 3 所以 cos 1 sin 2 5 3 cos 2 2cos 2 1 2 9 16 1 1 8 所以cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 1 8 5 3 37 8 2 3 5 67 2
8、4 直接应用二倍角公式求值的三种类型 1 sin 或 cos 同角三角函数的关系 cos 或 sin 二倍角公式 sin 2 或 cos 2 2 sin 或 cos 二倍角公式 cos 2 1 2sin 2 或 2cos 2 1 3 sin 或 cos 同角三角函数的关系 cos 或sin tan 二倍角公式 tan 2 2 1 已知 2 sin 5 5 则 sin 2 cos 2 tan 2 2 已知 sin 4 sin 4 1 6 且 2 求 tan 4 的值 1 4 5 3 5 4 3 因为 2 sin 5 5 所以 cos 25 5 所以 sin 2 2sin cos 2 5 5 25
9、 5 4 5 cos 2 1 2sin 2 1 2 5 5 2 3 5 tan 2 sin 2 cos 2 4 3 2 解 因为 sin 4 sin 2 4 cos 4 则已知条件可化为sin 4 cos 4 1 6 即 1 2sin 2 4 1 6 所以 sin 2 2 1 3 所以 cos 2 1 3 因为 2 所以 2 2 从而 sin 2 1 cos 22 2 2 3 所以 tan 2 sin 2 cos 2 2 2 故 tan 4 2tan 2 1 tan 22 42 1 22 2 42 7 利用二倍角公式证明 例 3 求证 cos 2 1 tan 2 tan 2 1 4sin 2
10、思路探究 可先化简左边 切化弦 再利用二倍角公式化简出右边 证明 法一 左边 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2 cos 1 2sin cos 1 4sin 2 右边 原式成立 法二 左边 cos 2 tan 2 1 tan 2 2 1 2cos 2 2tan 2 1 tan 2 2 1 2cos 2 tan 1 2cos sin 1 4sin 2 右边 原式成立 证明
11、问题的原则及一般步骤 1 观察式子两端的结构形式 一般是从复杂到简单 如果两端都比较复杂 就将两端 都化简 即采用 两头凑 的思想 2 证明的一般步骤是 先观察 找出角 函数名称 式子结构等方面的差异 然后本 着 复角化单角 异名化同名 变量集中 等原则 设法消除差异 达到证明的目的 3 求证 cos 2 A B sin 2 A B cos 2Acos 2B 解 左边 1 cos 2A 2B 2 1 cos 2A 2B 2 cos 2A 2B cos 2A 2B 2 1 2 cos 2 Acos 2B sin 2Asin 2B cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B cos 2Ac
12、os 2B 右边 等式成立 倍角公式的灵活运用 探究问题 1 在化简 1 sin cos 1 sin cos 1 cos sin 1 cos sin 时 如何灵活使用倍角公式 提示 在化简时 如果只是从 的关系去整理 化简可能感觉无从下手 但如果将 看成 2 的倍角 可能会有另一种思路 原式 2sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 sin 2 2sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 1 sin 2 cos 2 2 sin 2 如何求函数f x 2cos 2x 1 2 3sin xcos
13、x x R 的最小正周期 提示 求函数f x 的最小正周期 可由f x 2cos 2x 1 3 2sin xcos x cos 2x 3sin 2x 2sin 6 2x 知其最小正周期为 例 4 求函数f x 53cos 2x 3sin 2x 4sin xcos x x 4 7 24 的最小值 并求其单调减区间 思路探究 化简f x的解析式 f x Asin x B x 的范围 求最小值 单调减区间 解 f x 53 1 cos 2x 2 3 1 cos 2x 2 2sin 2x 33 23cos 2x 2sin 2x 33 4 3 2 cos 2x 1 2sin 2 x 33 4 sin 3
14、 cos 2x cos 3 sin 2x 33 4sin 3 2x 33 4sin2x 3 4 x 7 24 6 2x 3 4 sin2x 3 1 2 2 2 所以当 2x 3 4 即x 7 24 时 f x 取最小值为33 22 因为y sin2x 3 在 4 7 24 上单调递增 所以f x 在 4 7 24 上单调递减 本题考查二倍角公式 辅助角公式及三角函数的性质 解决这类问题经常是先利用公式 将函数表达式化成形如y Asin x 的形式 再利用函数图像解决问题 4 求函数y sin 4x 2 3sin xcos x cos 4 x的最小正周期和最小值 并写出该函数 在 0 上的单调递
15、减区间 解 y sin 4x 2 3sin xcos x cos 4x sin 2x cos2x sin2x cos2x 2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x 2 3 2 sin 2x 1 2cos 2 x 2sin2x 6 所以T 2 2 ymin 2 由 2k 2 2x 6 2k 3 2 k Z 得k 3 x k 5 6 k Z 又x 0 所以令k 0 得函数的单调递减区间为 3 5 6 1 对于 二倍角 应该有广义上的理解 如 8 是 4 的二倍 4 是 2 的二倍 2 是 4 的二倍 3 是 6 的二倍 2 n 2 2 n 1 n N 2 二倍角的余弦公式的运用 在
16、二倍角公式中 二倍角的余弦公式最为灵活多样 应用广泛 常用形式 1 cos 2 2cos 2 cos 2 1 cos 2 2 1 cos 2 2sin 2 sin 2 1 cos 2 2 1 2019 全国卷 已知 0 2 2sin 2 cos 2 1 则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 25 5 B 由 2sin 2 cos 2 1 得 4sin cos 2cos 2 0 2 2sin cos 又 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 5 又 0 2 sin 5 5 故选 B 2 cos 12 sin 12 cos 12 sin 12 的值为 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 D 原式 cos 2 12 sin 2 12 cos 6 3 2 3 已知 tan 1 3 则 sin 2 cos 2 1 cos 2 5 6 sin 2 cos 2 1 cos 2 2sin cos cos 2 1 2cos 2 1 2sin cos cos 2 2cos 2 tan 1 2 5 6 4 求下列各式的值 1 cos 5 cos 2 5 2 1 2 cos 2
