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1、7 3 1 正弦函数的性质与图像 学 习 目 标核 心 素 养 1 理解正弦函数的性质 会求正弦函数的定 义域和值域 最小正周期 奇偶性 单调区 间及函数的零点 重点 2 能正确使用 五点法 作出正弦函数的 图像 难点 1 借助正弦函数图像和性质的应用 培养学 生的直观想象 逻辑推理及数学运算核心素 养 2 通过正弦函数图像和性质的学习 培养学 生的直观想象核心素养 1 正弦函数的性质 1 函数的周期性 周期函数 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得对定义域内的每一个x 都满足f x T f x 那么就称函数f x 为周期函数 非零常数T称为这个函数的周期 最小正周期 对于一个周期函数
2、f x 如果在它的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就称为f x 的最小正周期 2 正弦函数的性质 函数y sin x 定义域R 值域 1 1 奇偶性奇函数 周期性最小正周期 2 单调性 在 2k 2 2k 2 k Z 上递增 在 2k 2 2k 3 2 k Z 上递减 最值 x 2k 2 k Z 时 y最大值 1 x 2k 2 k Z 时 y最小值 1 2 正弦函数的图像 1 利用正弦线可以作出y sin x x 0 2 的图像 要想得到y sin x x R 的图 像 只需将y sin x x 0 2 的图像沿x轴平移 2 4 即可 此时的图像 叫做正弦曲线 2 五点法 作y
3、 sin x x 0 2 的图像时 所取的五点分别是 0 0 2 1 0 和 3 2 1 和 2 0 思考 观察正弦函数的图像是否具有对称性 它的对称性是怎样的 提示 由图 图略 可以看出 正弦函数的图像关于原点成中心对称 除了原点这个对 称点外 对于正弦函数图像 点 0 点 2 0 点 k 0 也是它的对称中心 由此正弦函数图像有无数个对称中心 且为 k 0 k Z 即图像与x轴的交点 正弦函 数的图像还具有轴对称性 对称轴是x k 2 k Z 是过图像的最高或最低点 且 与x轴垂直的直线 1 函数y xsin x是 A 奇函数 不是偶函数B 偶函数 不是奇函数 C 奇函数 也是偶函数D 非
4、奇非偶函数 B f x xsin x x sin x xsin x f x y xsin x为偶函数 不是奇函数 2 下列图像中 符合y sin x在 0 2 上的图像的是 D 把y sin x x 0 2 上的图像关于x轴对称 即可得到y sin x x 0 2 上的图像 故选D 3 点M 2 m在函数y sin x的图像上 则m等于 A 0 B 1 C 1 D 2 C 由题意 m sin 2 m 1 m 1 三角函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x sin 1 2x 2 2 f x lg 1 sin x lg 1 sin x 解 1 显然x R f x cos 1 2
5、x f x cos 1 2x cos 1 2x f x f x 是偶函数 2 由 1 sin x 0 1 sin x 0 得 1 sin x 1 解得定义域为x x R且x k 2 k Z f x 的定义域关于原点对称 又 f x lg 1 sin x lg 1 sin x f x lg 1 sin x lg 1 sin x lg 1 sin x lg 1 sin x f x f x 为奇函数 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一 看函数的定义域是否关于原点对称 关键点二 看f x与f x的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 1 判断函数f x co
6、s 3 2 2x x 2sin x的奇偶性 解 原式 sin 2x x 2sin x 又 x R f x sin 2x x 2sin x sin 2x x 2sin x f x f x 是奇函数 正弦函数的单调性及应用 例 2 比较下列各组数的大小 1 sin 194 和cos 160 2 sin 7 4和 cos 5 3 思路探究 先化为同一单调区间上的同名函数 然后利用单调性来比较函数值的大 小 解 1 sin 194 sin 180 14 sin 14 cos 160 cos 180 20 cos 20 sin 70 0 14 70 90 sin 14 sin 70 即sin 194 c
7、os 160 2 cos 5 3 sin 2 5 3 又 2 7 4 2 5 3sin 2 5 3 cos 5 3 即 sin 7 4 cos 5 3 比较三角函数值的大小时 需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数 然后用三角 函数的单调性即可 如果角不在同一单调区间上 一般用诱导公式进行转化 然后再比较 2 比较大小 1 sin 250 与sin 260 2 sin 23 5 与 sin 17 4 解 1 sin 250 sin 1 80 70 sin 70 sin 260 sin 180 80 sin 80 因为 0 70 80 90 且函数y sin x x 0 2 是增函数 所以si
8、n 70 sin 80 所以 sin 70 sin 80 即sin 250 sin 260 2 sin 23 5 sin 23 5 sin 3 5 sin 2 5 sin 2 5 sin 17 4 sin 17 4 sin 4 因为 0 4 2 5 2 且函数y sin x x 0 2 是增函数 所以 sin 4 sin 2 5 sin 4 sin 2 5 即 sin 23 5 sin 17 4 正弦函数的值域与最值问题 例 3 求下列函数的值域 1 y 3 2sin2x 3 2 y 1 2sin 2x sin x 思路探究 1 用 sin 1 构建关于y的不等式 从而求得y的取值范围 2 用
9、t代替 sin x 然后写出关于t的函数 再利用二次函数的性质及 t 1 即可求 出y的取值范围 解 1 1 sin2x 3 1 2 2sin2x 3 2 1 2sin2x 3 3 5 1 y 5 即函数y 3 2sin 2x 3 的值域为 1 5 2 y 1 2sin 2x sin x 令 sin x t 则 1 t 1 y 2t 2 t 1 2 t 1 4 2 9 8 由二次函数y 2t 2 t 1 的图像可知 2 y 9 8 即函数y 1 2sin 2x sin x的值域为 2 9 8 1 换元法 旨在三角问题代数化 要防止破坏等价性 2 转化成同一函数 要注意不要一见sin x就得出
10、1 sin x 1 要根据x的范围确 定 3 设 x 4 求函数f x cos 2x sin x的最小值 解 f x cos 2x sin x 1 sin 2x sin x sin x 1 2 2 5 4 x 4 2 2 sin x 2 2 当 sin x 2 2 时取最小值为 1 2 2 正弦函数的图像 例 4 用 五点法 作出函数y 1 2sin x x 的简图 并回答下列 问题 1 观察函数图像 写出满足下列条件的x的区间 y 1 y1 在y 1 下方部分y1 当x 0 时 y 1 2 如图 当直线y a与y 1 2sin x有两个交点时 1 a 3 或 1 a 1 a的取值 范围是 a
11、 1 a 3 或 1 a0 0 的函数的最值通常利用 整体代换 即令 x z 将函数转化为y Asin z的形式求最值 5 五点法 画正弦函数图像 五点法 是画三角函数图像的基本方法 在要求精度不高的情况下常用此法 1 以下对于正弦函数y sin x的图像描述不正确的是 A 在x 2k 2k 2 k Z 上的图像形状相同 只是位置不同 B 关于x轴对称 C 介于直线y 1 和y 1 之间 D 与y轴仅有一个交点 B 观察y sin x图像可知A C D项正确 且关于原点中心对称 故选B 2 函数y sin x x 2 3 2 的简图是 D 可以用特殊点来验证 当x 0 时 y sin 0 0 排除A C 当x 3 2 时 y sin 3 2 1 排除 B 3 若 sin x 2m 1 且x R 则m的取值范围是 1 0 因为 1 sin x 1 sin x 2m 1 所以 1 2m 1 1 解得 1 m 0 4 用五点法画出函数y 2sin x在区间 0 2 上的简图 解 列表 x 0 2 3 2 2 sin x 010 10 y 2sin x 0 2020 描点 连线得y 2sin x的图像如图
