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1、第1页 共 22页 2018 年北京市高考数学试卷 理科 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 5 00 分 已知集合 A x x 2 B 2 0 1 2 则 A B A 0 1 B 1 0 1 C 2 0 1 2 D 1 0 1 2 2 5 00 分 在复平面内 复数的共轭复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 5 00 分 执行如图所示的程序框图 输出的s值为 A B C D 4 5 00 分 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例 为这个理论的发展做出了
2、重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程 分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的 前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为f 则第八个单音的 频率为 A f B f C f D f 第2页 共 22页 5 5 00分 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的 个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 5 00 分 设 均为单位向量 则 3 3 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7 5 00 分 在平面直角坐标系中 记d 为点 P cos sin 到直线 x my 2 0的距离 当
3、m 变化时 d 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 5 00 分 设集合 A x y x y 1 ax y 4 x ay 2 则 A 对任意实数 a 2 1 A B 对任意实数 a 2 1 A C 当且仅当 a 0 时 2 1 A D 当且仅当 a 时 2 1 A 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 5 00 分 设 an 是等差数列 且 a1 3 a2 a5 36 则 an 的通项公式为 10 5 00分 在极坐标系中 直线 cos sin a a 0 与圆 2cos 相切 则 a 11 5 00分 设函数 f x cos x 0 若 f x f 对任 意的
4、实数 x 都成立 则 的最小值为 12 5 00分 若 x y 满足 x 1 y 2x 则 2y x 的最小值是 13 5 00分 能说明 若 f x f 0 对任意的 x 0 2 都成立 则 f x 第3页 共 22页 在 0 2 上是增函数 为假命题的一个函数是 14 5 00 分 已知椭圆 M 1 a b 0 双曲线 N 1 若 双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六 边形的顶点 则椭圆M 的离心率为 双曲线 N 的离心率为 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 13 00分 在 ABC中 a 7 b
5、8 cosB 求 A 求 AC边上的高 16 14 00 分 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 CC1 平面 ABC D E F G 分别为 AA1 AC A1C1 BB1的中点 AB BC AC AA1 2 求证 AC 平面 BEF 求二面角 B CD C1的余弦值 证明 直线 FG与平面 BCD相交 17 12 00分 电影公司随机收集了电影的有关数据 经分类整理得到下表 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0 40 20 150 250 20 1 好评率是指 一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获
6、得好评相互独立 从电影公司收集的电影中随机选取1 部 求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率 第4页 共 22页 从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部 估计恰有 1 部获得好评的 概率 假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等 用 k 1 表示第 k 类电影得到人们喜欢 k 0 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 k 1 2 3 4 5 6 写出方差 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6的大小关系 18 13 00分 设函数 f x ax 2 4a 1 x 4a 3 ex 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行 求 a 若 f x 在
7、x 2处取得极小值 求a 的取值范围 19 14 00 分 已知抛物线 C y2 2px经过点 P 1 2 过点 Q 0 1 的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A B 且直线 PA交 y 轴于 M 直线 PB交 y 轴于 N 求直线 l 的斜率的取值范围 设 O为原点 求证 为定值 20 14 00 分 设 n 为正整数 集合 A t1 t2 tn tk 0 1 k 1 2 n 对于集合 A 中的任意元素 x1 x2 xn 和 y1 y2 yn 记 M x1 y1 x1 y1 x2 y2 x2 y2 xn yn xn yn 当 n 3时 若 1 1 0 0 1 1 求 M 和 M 的值
8、 当 n 4 时 设 B是 A 的子集 且满足 对于B中的任意元素 当 相同时 M 是奇数 当 不同时 M 是偶数 求集合B 中元素个数的最大值 给定不小于 2 的 n 设 B是 A 的子集 且满足 对于 B中的任意两个不同 的元素 M 0 写出一个集合 B 使其元素个数最多 并说明理由 第5页 共 22页 2018 年北京市高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 5 00 分 已知集合 A x x 2 B 2 0 1 2 则 A B A 0 1 B 1 0 1 C 2 0 1 2 D
9、 1 0 1 2 分析 根据集合的基本运算进行计算即可 解答 解 A x x 2 x 2 x 2 B 2 0 1 2 则 A B 0 1 故选 A 点评 本题主要考查集合的基本运算 根据集合交集的定义是解决本题的关 键 比较基础 2 5 00 分 在复平面内 复数的共轭复数对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 分析 利用复数的除法运算法则 化简求解即可 解答 解 复数 共轭复数对应点的坐标 在第四象限 故选 D 点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算 复数的几何意义 是基本知识的 考查 3 5 00 分 执行如图所示的程序框图 输出的s值为 第6页 共 22页 A B
10、 C D 分析 直接利用程序框图的应用求出结果 解答 解 执行循环前 k 1 S 1 在执行第一次循环时 S 1 由于 k 2 3 所以执行下一次循环 S k 3 直接输出 S 故选 B 点评 本题考查的知识要点 程序框图和循环结构的应用 4 5 00 分 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程 分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的 前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为f 则第八个单音的 频率为 A f B f C f D f 第7页 共 22页 分析 利用
11、等比数列的通项公式 转化求解即可 解答 解 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于 若第一个单音的频率为f 则第八个单音的频率为 故选 D 点评 本题考查等比数列的通项公式的求法 考查计算能力 5 5 00分 某四棱锥的三视图如图所示 在此四棱锥的侧面中 直角三角形的 个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 画出三视图的直观图 判断各个面的三角形的情况 即可推出结果 解答 解 四棱锥的三视图对应的直观图为 PA 底面 ABCD AC CD PC 3 PD 2 可得三角形 PCD不是直角三角形 所以侧面中有 3 个直角三角形 分别为 PAB PBC PAD 故选
12、 C 第8页 共 22页 点评 本题考查简单几何体的三视图的应用 是基本知识的考查 6 5 00 分 设 均为单位向量 则 3 3 是 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 分析 根据向量数量积的应用 结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可 解答 解 3 3 平方得 2 9 2 6 9 2 2 6 即 1 9 6 9 1 6 即 12 0 则 0 即 则 3 3 是 的充要条件 故选 C 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 结合向量数量积的公式进行 转化是解决本题的关键 7 5 00 分 在平面直角坐标系中 记d 为点 P cos s
13、in 到直线 x my 2 0的距离 当 m 变化时 d 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 由题意 d 当 sin 第9页 共 22页 1 时 dmax 1 3 由此能求出 d 的最大值 解答 解 由题意 d tan 当 sin 1 时 dmax 1 3 d 的最大值为 3 故选 C 点评 本题考查点到直线的距离的最大值的求法 考查点到直线的距离公式 三角函数性质等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是中档题 8 5 00 分 设集合 A x y x y 1 ax y 4 x ay 2 则 A 对任意实数 a 2 1 A B 对任意实数 a 2 1 A C 当且仅当
14、 a 0 时 2 1 A D 当且仅当 a 时 2 1 A 分析 利用 a 的取值 反例判断 2 1 A 是否成立即可 解答 解 当 a 1 时 集合 A x y x y 1 ax y 4 x ay 2 x y x y 1 x y 4 x y 2 显然 2 1 不满足 x y 4 x y 2 所以 A C不正确 当 a 4 集合 A x y x y 1 ax y 4 x ay 2 x y x y 1 4x y 4 x 4y 2 显然 2 1 在可行域内 满足不等式 所以B不正确 故选 D 点评 本题考查线性规划的解答应用 利用特殊点以及特殊值转化求解 避免 可行域的画法 简洁明了 二 填空题共
15、 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 5 00分 设 an 是等差数列 且 a1 3 a2 a5 36 则 an 的通项公式为an 6n 3 分析 利用等差数列通项公式列出方程组 求出a1 3 d 6 由此能求出 an 第10页 共 22页 的通项公式 解答 解 an 是等差数列 且 a1 3 a2 a5 36 解得 a1 3 d 6 an a1 n 1 d 3 n 1 6 6n 3 an 的通项公式为 an 6n 3 故答案为 an 6n 3 点评 本题考查等差数列的通项公式的求法 考查等差数列的性质等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 10 5 00分 在极坐
16、标系中 直线 cos sin a a 0 与圆 2cos 相切 则 a 1 分析 首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程 进一步利用圆心 到直线的距离等于半径求出结果 解答 解 圆 2cos 转化成 2 2 cos 进一步转化成直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 把直线 cos sin a的方程转化成直角坐标方程为 x y a 0 由于直线和圆相切 所以 利用圆心到直线的距离等于半径 则 1 解得 a 1 a 0 则负值舍去 故 a 1 故答案为 1 点评 本题考查的知识要点 极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与圆相 切的充要条件的应用 第11页 共 22页 11 5 00分 设函数 f x cos x 0 若 f x f 对任 意的实数 x 都成立 则 的最小值为 分析 利用已知条件推出函数的最大值 然后列出关系式求解即可 解答 解 函数 f x cos x 0 若 f x f 对任意的 实数 x 都成立 可得 k Z 解得 k Z 0 则 的最小值为 故答案为 点评 本题考查三角函数的最值的求法与应用 考查转化思想以及计算能力 12 5 00分 若 x y 满足 x 1
