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1、第1页 共 20页 2018年上海市高考数学试卷 一 填空题 本大题共有12 题 满分 54 分 第 1 6 题每题 4 分 第 7 12题每 题 5 分 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 4 00 分 行列式的值为 2 4 00 分 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 3 4 00 分 在 1 x 7的二项展开式中 x2项的系数为 结果用数值 表示 4 4 00 分 设常数 a R 函数 f x 1og2 x a 若 f x 的反函数的图象 经过点 3 1 则 a 5 4 00 分 已知复数 z满足 1 i z 1 7i i 是虚数单位 则 z 6 4 00分 记等差数列 an 的前
2、n 项和为 Sn 若 a3 0 a6 a7 14 则 S7 7 5 00 分 已知 2 1 1 2 3 若幂函数 f x x 为 奇函数 且在 0 上递减 则 8 5 00 分 在平面直角坐标系中 已知点A 1 0 B 2 0 E F 是 y 轴上的两个动点 且 2 则的最小值为 9 5 00 分 有编号互不相同的五个砝码 其中5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三个 则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 结果用最简分数表示 10 5 00 分 设等比数列 an 的通项公式为 an qn 1 n N 前 n 项和为 Sn 若 则 q 11 5 00 分 已知常数 a
3、0 函数 f x 的图象经过点 P p Q q 若 2p q 36pq 则 a 12 5 00 分 已知实数 x1 x2 y1 y2满足 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 第2页 共 20页 则 的最大值为 二 选择题 本大题共有4 题 满分 20 分 每题 5 分 每题有且只有一个正确 选项 考生应在答题纸的相应位置 将代表正确选项的小方格涂黑 13 5 00 分 设 P 是椭圆 1 上的动点 则 P 到该椭圆的两个焦点的距 离之和为 A 2 B 2 C 2 D 4 14 5 00分 已知 a R 则 a 1 是 1 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C
4、充要条件D 既非充分又非必要条件 15 5 00 分 九章算术 中 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为 阳马 设 AA1是正六棱柱的一条侧棱 如图 若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点 以 AA1为底面矩形的一边 则这样的阳马的个数是 A 4 B 8 C 12 D 16 16 5 00 分 设 D 是含数 1 的有限实数集 f x 是定义在 D 上的函数 若 f x 的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合 则在以下各项中 f 1 的 可能取值只能是 A B C D 0 三 解答题 本大题共有5 题 满分 76分 解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤 17 14 00分 已知圆锥的
5、顶点为P 底面圆心为 O 半径为 2 第3页 共 20页 1 设圆锥的母线长为4 求圆锥的体积 2 设 PO 4 OA OB是底面半径 且 AOB 90 M 为线段 AB的中点 如图 求 异面直线 PM 与 OB所成的角的大小 18 14 00分 设常数 a R 函数 f x asin2x 2cos 2x 1 若 f x 为偶函数 求 a 的值 2 若 f 1 求方程 f x 1 在区间 上的解 19 14 00 分 某群体的人均通勤时间 是指单日内该群体中成员从居住地到工 作地的平均用时 某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤 分析显示 当 S中 x 0 x 100 的成员自驾时 自驾群
6、体的人均通勤时间为 f x 单位 分钟 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响 恒为 40 分钟 试根据上述分析结果回 答下列问题 1 当 x 在什么范围内时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间 2 求该地上班族 S的人均通勤时间 g x 的表达式 讨论 g x 的单调性 并说明其实际意义 20 16 00 分 设常数 t 2 在平面直角坐标系xOy中 已知点 F 2 0 直 线 l x t 曲线 y2 8x 0 x t y 0 l 与 x 轴交于点 A 与 交于点 B P Q分别是曲线 与线段 AB上的动点 1 用 t 表示点 B 到点 F的距离 2 设 t 3 FQ 2 线段
7、 OQ的中点在直线 FP上 求 AQP的面积 3 设 t 8 是否存在以 FP FQ为邻边的矩形 FPEQ 使得点 E在 上 若存在 求点 P的坐标 若不存在 说明理由 第4页 共 20页 21 18 00 分 给定无穷数列 an 若无穷数列 bn 满足 对任意 n N 都有 bn an 1 则称 bn 与 an 接近 1 设 an 是首项为 1 公比为的等比数列 bn an 1 1 n N 判断数列 bn 是否与 an 接近 并说明理由 2 设数列 an 的前四项为 a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 bn 是一个与 an 接近 的数列 记集合 M x x bi i 1 2 3 4 求
8、M 中元素的个数 m 3 已知 an 是公差为 d 的等差数列 若存在数列 bn 满足 bn 与 an 接近 且在 b2 b1 b3 b2 b201 b200中至少有 100 个为正数 求 d 的取值范围 第5页 共 20页 2018 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共有12 题 满分 54 分 第 1 6 题每题 4 分 第 7 12题每 题 5 分 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 4 00 分 行列式的值为18 分析 直接利用行列式的定义 计算求解即可 解答 解 行列式 4 5 2 1 18 故答案为 18 点评 本题考查行列式的定义 运算法则的应用
9、是基本知识的考查 2 4 00 分 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 分析 先确定双曲线的焦点所在坐标轴 再确定双曲线的实轴长和虚轴长 最 后确定双曲线的渐近线方程 解答 解 双曲线的 a 2 b 1 焦点在 x 轴上 而双曲线的渐近线方程为 y 双曲线的渐近线方程为y 故答案为 y 点评 本题考察了双曲线的标准方程 双曲线的几何意义 特别是双曲线的渐 近线方程 解题时要注意先定位 再定量的解题思想 3 4 00分 在 1 x 7的二项展开式中 x 2 项的系数为21 结果用数值表 示 分析 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数 第6页 共 20页 解答 解 二项式 1 x 7 展
10、开式的通项公式为 Tr 1 x r 令 r 2 得展开式中 x2的系数为 21 故答案为 21 点评 本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题 是基础题 4 4 00 分 设常数 a R 函数 f x 1og2 x a 若 f x 的反函数的图象 经过点 3 1 则 a 7 分析 由反函数的性质得函数f x 1og2 x a 的图象经过点 1 3 由 此能求出 a 解答 解 常数 a R 函数 f x 1og2 x a f x 的反函数的图象经过点 3 1 函数 f x 1og2 x a 的图象经过点 1 3 log2 1 a 3 解得 a 7 故答案为 7 点评 本题考查实数值的求法 考查函
11、数的性质等基础知识 考查运算求解能 力 考查函数与方程思想 是基础题 5 4 00 分 已知复数 z满足 1 i z 1 7i i 是虚数单位 则 z 5 分析 把已知等式变形 然后利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数求 模公式计算得答案 解答 解 由 1 i z 1 7i 得 则 z 故答案为 5 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数模的求法 是基础题 第7页 共 20页 6 4 00分 记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a3 0 a6 a7 14 则 S7 14 分析 利用等差数列通项公式列出方程组 求出 a1 4 d 2 由此能求出 S7 解答 解 等差数列
12、 an 的前 n 项和为 Sn a3 0 a6 a7 14 解得 a1 4 d 2 S7 7a1 28 42 14 故答案为 14 点评 本题考查等差数列的前7 项和的求法 考查等差数列的性质等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 7 5 00 分 已知 2 1 1 2 3 若幂函数 f x x 为 奇函数 且在 0 上递减 则 1 分析 由幂函数 f x x 为奇函数 且在 0 上递减 得到 a 是奇数 且 a 0 由此能求出 a 的值 解答 解 2 1 1 2 3 幂函数 f x x 为奇函数 且在 0 上递减 a 是奇数 且 a 0 a 1 故答案为 1 点评 本题考
13、查实数值的求法 考查幂函数的性质等基础知识 考查运算求解 能力 考查函数与方程思想 是基础题 8 5 00 分 在平面直角坐标系中 已知点A 1 0 B 2 0 E F 是 y 轴上的两个动点 且 2 则的最小值为 3 分析 据题意可设E 0 a F 0 b 从而得出 a b 2 即 a b 2 或 b a 2 并可求得 将 a b 2 带入上式即可求出的最小值 同理将 b a 2 带入 也可求出的最小值 第8页 共 20页 解答 解 根据题意 设 E 0 a F 0 b a b 2 或 b a 2 且 当 a b 2 时 b2 2b 2 的最小值为 的最小值为 3 同理求出 b a 2 时
14、的最小值为 3 故答案为 3 点评 考查根据点的坐标求两点间的距离 根据点的坐标求向量的坐标 以及 向量坐标的数量积运算 二次函数求最值的公式 9 5 00 分 有编号互不相同的五个砝码 其中5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三个 则这三个砝码的总质量为9 克的概率是 结果用最简分数表示 分析 求出所有事件的总数 求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数 然后 求解概率即可 解答 解 编号互不相同的五个砝码 其中5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三个 3 个数中含有 1 个 2 2 个 2 没有 2 3 种情况 所有的事件总数为 10 这三
15、个砝码的总质量为9 克的事件只有 5 3 1 或 5 2 2 两个 所以 这三个砝码的总质量为9 克的概率是 故答案为 点评 本题考查古典概型的概率的求法 是基本知识的考查 第9页 共 20页 10 5 00 分 设等比数列 an 的通项公式为 an qn 1 n N 前 n 项和为 Sn 若 则 q 3 分析 利用等比数列的通项公式求出首项 通过数列的极限 列出方程 求解 公比即可 解答 解 等比数列 an 的通项公式为 a qn 1 n N 可得 a 1 1 因为 所以数列的公比不是1 an 1 qn 可得 可得 q 3 故答案为 3 点评 本题考查数列的极限的运算法则的应用 等比数列求和
16、以及等比数列的 简单性质的应用 是基本知识的考查 11 5 00 分 已知常数 a 0 函数 f x 的图象经过点 P p Q q 若 2p q 36pq 则 a 6 分析 直接利用函数的关系式 利用恒等变换求出相应的a 值 解答 解 函数 f x 的图象经过点 P p Q q 则 整理得 1 解得 2p q a2pq 第10页 共 20页 由于 2p q 36pq 所以 a2 36 由于 a 0 故 a 6 故答案为 6 点评 本题考查的知识要点 函数的性质的应用 代数式的变换问题的应用 12 5 00 分 已知实数 x1 x2 y1 y2满足 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 则 的最大值为 分析 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 y1 x2 y2 由圆的方程 和向量数量积的定义 坐标表示 可得三角形OAB 为等边三角形 AB 1 的几何意义为点A B 两点到直线 x y 1 0 的距离 d1 与 d2之和 由两平行线的距离可得所求最大值 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 x1 y1 x2 y2 由 x12 y12 1 x22 y22
