《数学（理）新攻略大一轮课标通用课件：第三章 4-第四节 导数与函数的极值、最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）新攻略大一轮课标通用课件：第三章 4-第四节 导数与函数的极值、最值（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引 第四节 导数与函数的极值 最值 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 1 函数的极值与导数 2 函数的最值与导数 教 材 研 读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 考点一 运用导数解决函数的极值问题 考点二 运用导数解决函数的最值问题 考点三 用导数解决实际生活中的优化问题 考 点 突 破 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值 若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 f x 0 则点a叫做函数y f
2、 x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小 值 教材研读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 2 函数的极大值 若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 当x 1 e 时 f x 1时 y 0 当x 1时 y 0 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 即函数在 0 上单调递增 此时函数在定义域上无极值点 当a 0时 若x 则f x 0 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 若x 则f x 0时 函数在x 处有 一个极大值点 总纲目录 教材研读 考点突
3、破 栏目索引考点突破 易错警示 已知函数求极值 点 需注意两点 1 先求定义域 2 导数为零的点不一定是极值点 所以求出导数为零的点后 还要判断 该点两侧导数值的符号 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 命题方向二 已知极值 点 的情况 求参数的值 范围 典例2 2018北京 18 13分 设函数f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 求a 2 若f x 在x 2处取得极小值 求a的取值范围 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 因为f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 所以f x ax2
4、 2a 1 x 2 ex f 1 1 a e 由题设知f 1 0 即 1 a e 0 解得a 1 此时f 1 3e 0 所以a的值为1 2 由 1 得f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 若a 则当x 时 f x 0 所以f x 在x 2处取得极小值 若a 则当x 0 2 时 x 2 0 ax 1 x 10 所以2不是f x 的极小值点 综上可知 a的取值范围是 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 1 列式 根据极值点处导数为0和极值列方程组 利用待定系数法求解 2 验证 因为一点处的导数等于零不是此点为极值
5、点的充要条件 所以 求解后须对所求结果进行验证 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 1 1 2017课标全国 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 答案 A 由题意可得f x ex 1 x2 a 2 x a 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 即g x 在 0 上递增 此时g x
6、在 0 上无极值点 当a 1时 令g x ex a 0 得x ln a 由g x ex a 0 得x ln a 由g x ex a1 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例3 已知函数f x 1 求f x 在区间 1 上的极小值和极大值点 2 求f x 在 1 e e为自然对数的底数 上的最大值 运用导数解决函数的最值问题 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 当x 1时 f x 3x2 2x x 3x 2 令f x 0 解得x 0或x 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 f x 0 0 f x 极小值 极大值 总纲目录 教材研读 考点突
7、破 栏目索引考点突破 故当x 0时 函数f x 取得极小值f 0 0 函数f x 的极大值点为x 2 当 1 x0时 f x 在 1 e 上单调递增 则f x 在 1 e 上的最大值为f e a 故当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为a 当a 2时 f x 在 1 e 上的最大值为2 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 求函数f x 在 a b 上的最值的方法 1 若函数在区间 a b 上单调递增或递减 则f a 与f b 一个为最大值 一个为最小值 2 若函数在区间 a b 内有极值 则先求出函数在 a b 上的极值 再与 f a f b 比较 最大的是最大值
8、最小的是最小值 可列表完成 3 函数f x 在区间 a b 上有唯一一个极值点 这个极值点就是最大 或 最小 值点 此结论在导数的实际应用中经常用到 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 1 2018云南统一检测 已知函数f x excos x x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 在区间 上的最大值和最小值 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 1 因为f x excos x x 所以f x ex cos x sin x 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 2 设h
9、x ex cos x sin x 1 则h x ex cos x sin x sin x cos x 2exsin x 当x 时 h x 0 所以h x 在区间 上单调递减 所以对任意x 有h x h 0 0 即f x 0 则年总产值为4k 800 4sin cos cos 3k 1 600 cos sin cos 8 0 00k sin cos cos 设f sin cos cos 则f cos2 sin2 sin 2sin2 sin 1 2sin 1 sin 1 令f 0 得 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 当 时 f 0 所以f 为增函数 当 时 f 0 函数单调递增 当x 20 30 时 y 0 函数单调递减 所以当x 20时 y取最大值 最大值为 203 1 200 20 16 000 所以该厂的日产量为20件时 日利润最大 最大值为 16 000元 2 y 3x2 1 200 令y 0 解得x 20 x 20舍去
