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1、 第 1 页 共 13 页 2020 年 3 月南海区 2020 届高三年级期初线上综合能力测试 理科数学理科数学 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知全集为R 集合 1 2 2 1 20 Ax yxBx xx 则 AB R I A 0 2 B 1 2 C 0 1 D 0 1 1 答案 D 解析 1 2 1 1 1 1 1 Ax yxx yx xAx x x R 2 20 2 0 02 Bx xxx x xxx 0 1 AB R I 2 复数满足48izz 则复数z在复平面内所对应的点在 A 第一象限 B
2、第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 答案 B 解析 设i zaba b R 则 22 i48izzabab 22 6 4 68i 8 8 a aab z b b 所以复数z在复平面内所对应的点在第二象限 3 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 且 28 2 10aa 则 9 S A 45 B 42 C 25 D 36 3 答案 D 解析 1928 9 9 9 9 2 10 36 222 aaaa S 4 函数 xx x y ee 的图象大致为 4 答案 A 解析 设 xx x f x ee 则 xx x fxf x ee 所以函数 f x是奇函数 其图象关于原点对 称 排除 B C
3、 且当x 时 0 xx x f x ee 排除 D 选 A 第 2 页 共 13 页 5 音乐 是用声音来展现美 给人以听觉上的享受 熔铸人们的美学趣味 著名数学家傅立叶研究了乐 声的本质 他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述 它们是一些形如sinabx的简单正弦函数的和 其中频率最低的一项是基本音 其余的为泛音 由乐声的数学表达式可知 所有泛音的频率都是基本音频 率的整数倍 称为基本音的谐波 下列函数中不能与函数0 06sin180000yt 构成乐音的是 A 0 02sin360000yt B 0 03sin180000yt C 0 02sin181800yt D 0 05sin540
4、000yt 5 答案 C 解析 由 1 2 f T 可知若 12 fnfn N 则必有 12 nn N 故选 C 6 已知 a b r r 为非零向量 2 2 a bb a rr rr 为 a ab b rr r r 的 A 充分不必要条件 B 充分必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 6 答案 B 解析 若 2 2 a bb a rr rr 成立 则 2 2 a bb a rr rr 则向量a r 与b r 的方向相同 且 2 2 abba rr rr 从而ab rr 所以ab r r 若a ab b rr r r 则向量a r 与b r 的方向相同 且 22 ab rr
5、从而ab rr 所以ab r r 所以 2 2 a bb a rr rr 为 a ab b rr r r 的充分必要条件 7 把函数 2 sinf xx 的图象向右平移 12 个单位 得到函数 g x的图象 给出下列四个命题 g x的值域为 0 1 g x的一个对称轴是 12 x g x的一个对称中心是 1 3 2 g x存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 7 答案 C 解析 2 12 1 cos2 1 cos21112 sin cos 2 22262 x x f xxg xx 向右平移个单位 cos 2 1 1 6 x Q g x 的值域为 0 1
6、错误 当 12 x 时 20 6 x 所以 12 x 是函数 g x的一条对称轴 正确 当 3 x 时 2 62 x 所以 g x的一个对称中心是 1 3 2 正确 第 3 页 共 13 页 sin 2 1 1 6 g xx 则 121212 1 1 1x xg xg xg xg x R 则 g x在 1 xx 和 2 xx 处的切线互相垂直 正确 8 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸 是中国古老的传统民间艺术之一 它历史悠久 风格独特 神 兽人们喜爱 右图即是一副窗花 是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小正方形 后剩余的部分 然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全
7、为 1 的一些小正方形 若在这个窗花内部随机 取一个点 则该点不落在任何一个小正方形内的概率是 A 3 7 B 4 7 C 5 7 D 6 7 8 答案 D 解析 窗花的面积为 2 124 1140 其中小正方形的面积为5 420 所以所求概率 140206 1407 P 9 已知三棱锥 2 1 PABCACBCACBC 且2 PAPBPB 平面ABC 其外接球体积 为 A 4 3 B 4 C 32 3 D 4 3 9 答案 A 解析 22 3ABACBC 设PBh 则由2PAPB 可得 2 32hh 解得1h 可将 三棱锥PABC 还原成如图所示的长方体 则三棱锥PABC 的外接球即为长方体
8、的外接球 设外接球 的半径为R 则 222 21 2 12 1RR 所以外接球的体积 3 44 33 VR A B C P 1 2 3 h 10 一个盒子里有 4 个分别标有号码为 1 2 3 4 的小球 每次取出一个 记下它的标号后再放回盒子 中 共取 3 次 则取得小球标号最大值是 4 的取法有 A 17 种 B 27 种 C 37 种 D 47 种 10 答案 C 第 4 页 共 13 页 解析 所有可能的情况有 3 464 种 其中最大值不是 4 的情况有 3 327 种 所以取得小球标号最大值是 4 的取法有642737 种 11 已知双曲线 22 22 1 0 xy Mba ab
9、的焦距为2c 若M的渐近线上存在点T 使得经过点T所作 的圆 222 xcya 的两条切线互相垂直 则双曲线M的离心率的取值范围是 A 1 2 B 2 3 C 2 5 D 3 5 11 答案 B 解析 ba Q 所以离心率 2 12 cb e aa 圆 222 xcya 是以 0 F c为圆心 半径ra 的圆 要使得经过点T所作的圆的两条切线互相垂直 必有2TFa 而焦点 0 F c到双曲线渐近线 的距离为b 所以2TFab 即2 b a 所以 2 13 cb e aa 所以双曲线M的离心 率的取值范围是 2 3 b T FO 12 点M在曲线 3lnG yx 上 过M作x轴垂线l 设l与曲线
10、 1 y x 交于点N 3 OMON OP uuuu ruuu r uuu r 且P点的纵坐标始终为 0 则称M点为曲线G上的 水平黄金点 则曲线G上的 水平黄金点 的个数 为 A 0 B 1 C 2 D 3 12 答案 C 解析 设 3ln M tt 则 1 N t t 所以 21 ln 333 OMONt OPt t uuuu ruuu r uuu r 依题意可得 1 ln0 3 t t 设 1 ln 3 g tt t 则 22 1131 33 t g t ttt 当 1 0 3 t 时 0 g tg t 单调递减 当 1 3 t 时 0 g tg t 单调递增 所以 min 1 1 ln
11、30 3 gtg 且 2 2 11 20 1 0 33 e gg e 第 5 页 共 13 页 1 ln0 3 g tt t 有两个不同的解 所以曲线G上的 水平黄金点 的个数为 2 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 抛物线 2 4yx 上到其焦点F距离为 5 的点有 个 13 答案 2 解析 设符合条件的点 00 P xy 则 000 15 4 4PFxxy 所以符合条件的点有 2 个 14 已知数列 n a的前n项和为 n S且满足2 nn Sa 则数列 n a的通项 n a 14 答案 1 1 2 n 解析 当1n 时 1111 2
12、21Saaa 由2 nn Sa 可知当2n 时 11 2 nn Sa 两式相减 得 1 20 nn aa 即 1 1 2 2 nn aan 所以数列 n a是首项为1 公比为 1 2 的等比数列 所以 1 1 2 n n a 15 对任意正整数n 函数 32 27cos1f nnnnn 若 2 0f 则 的取值范围是 若不等式 0f n 恒成立 则 的最大值为 15 答案 13 2 13 2 解析 由 2 1628210f 解得 13 2 当n为奇数时 cos1n 由 32 2710f nnnn 得 2 1 27nn n 而函数 2 1 27g nnn n 为单调递增函数 所以 min 1 8
13、g ng 所以8 当n为偶数时 cos1n 由 32 2710f nnnn 得 2 1 27nn n 设 2 1 27 2 h xxxx x 则 2 1 2 470 xh xx x Q h x 单调递增 min 13 2 2 h xh 所以 13 2 综上可知 若不等式 0f n 恒成立 则 的最大值为 13 2 16 正方体 1111 ABCDABC D 中 E是棱 1 DD的中点 F是侧面 11 CDDC上的动点 且 1 B F平面 1 ABE 记 1 B与F的轨迹构成的平面为 F 使得 11 B FCD 第 6 页 共 13 页 直线 1 B F与直线BC所成角的正切值的取值范围是 2
14、1 42 与平面 11 CDDC所成锐二面角的正切值为2 2 正方体 1111 ABCDABC D 的各个侧面中 与 所成的锐二面角相等的侧面共四个 其中正确命题的序号是 写出所有正确命题的序号 16 答案 解析 取CD中点G 连接EG 则 1 EGAB 所以平面 1 ABE即为平面 1 ABGE 取 11 C D中点M 1 CC 中点N 连接 11 BM B N MN 则易证得 111 BMBG B NAE 从而平面 1 BMN平面 1 ABGE 所 以点F的运动轨迹为线段MN 平面 1 B MN即为平面 取F为MN中点 因为 1 BMN 是等腰三角形 所以 1 B FMN 又因为 1 MN
15、CD 所以 11 B FCD 故 正确 设正方体的棱长为 2 当点F为MN中点时 直线 1 B F与直线BC所成角最小 此时 1 2 2 C F 1 11 11 2 tan 4 C F C B F BC 当点F与点M或点N重合时 直线 1 B F与直线BC所成角最大 此时 11 1 tan 2 C B F 所以直线 1 B F与直线BC所成角的正切值的取值范围是 2 1 42 正确 取F为MN中点 则 1111 MNC F MNB FB FC 即为 与平面 11 CDDC所成的锐二面角 11 11 1 tan2 2 BC B FC C F 所以 正确 正方体 1111 ABCDABC D 的各
16、个侧面中 平面ABCD 平面 1111 ABC D 平面 11 BCC B 平面 11 ADD A 与平面 所成的角相等 所以 正确 A B C D D1A1 B1 C1E G M N F 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 第 7 页 共 13 页 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 在ABC 中 5 cos 43 BC 1 求cosA的值 2 点D为边BC上的动点 不与C点重合 设ADDC 求 的取值范围 17 解 1 在ABC 5 cos 3 C 所以 2 2 sin1 cos 3 CC 1 分 所以 coscoscossinsincoscos 4444 ACCCC 22252 210 23236 5 分 2 由 1 可知 2 210 cos0 6 A 所以 2 A 因为 sinsin ADDC CDAC 所以 sin2 sin3sin ADC DCDACDAC 8 分 因为0DACBAC 所以 sin 0 1 DAC 11 分 所以
