《数学新攻略大一轮浙江专用课件：23_§ 4_8 正弦定理和余弦定理应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新攻略大一轮浙江专用课件：23_§ 4_8 正弦定理和余弦定理应用举例（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引 4 8正弦定理和余弦定理应用举例 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 教 材 研 读 1 正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有 测量距离 高度 角度问题 计算面积问题等 2 实际问题中的常用角 3 解三角形应用题的一般步骤 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引总纲目录 考 点 突 破 考点一 测量距离问题 考点二 测量高度 考点三 测量角度问题 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有 测量距离 高度 角度问题 计算面积问题等 教材研读 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研
2、读 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角 目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角 如图甲 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 2 方向角 一般指相对于正北或正南方向的水平锐角 如南偏东30 北 偏西45 等 3 方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如点B的 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 方位角为 如图乙 4 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 附 坡度 坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 3 解三角形应用题
3、的一般步骤 1 理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的 关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题 3 根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解 4 将所得结论还原到实际问题 注意实际问题中有关单位 近似计算 等的要求 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 与 的关系为 B A B C 90 D 180 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 2 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km 灯塔 A在观察站C的北偏东20 的方向上 灯塔B在观察站C的南偏东40 的方
4、向上 则灯塔A与灯塔B的距离为 B A a km B a km C a km D 2a km 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 3 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度 在C点测得塔顶A的仰角是4 5 在D点测得塔顶A的仰角是30 并测得水平面上的 BCD 120 CD 40 m 则电视塔的高度为 D A 10 m B 20 m C 20 m D 40 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 4 在相距2千米的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 千米 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 5 一艘船自西向东匀速
5、航行 上午10时到达灯塔P的南偏西75 距灯塔68 海里的M处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处 则此船航行的速 度为 海里 时 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 解析 如图 由题意知 MPN 75 45 120 PNM 45 在 PMN中 MN 68 34 海里 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引教材研读 又由M到N所用的时间为14 10 4 小时 此船航行的速度v 海里 时 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 测量距离问题 典例1 如图所示 某旅游景点有一座山峰 山上有一条笔直的山路BC和 一条索道AC 而小王和小李打算花2个小时的时间进行徒步攀登 已知
6、ABC 120 ADC 150 BD 1 km AC 3 km 假设小王和小李徒步攀登 的速度为每小时1 250米 请问 小王和小李能否在2个小时内徒步登上山 顶 即从B点出发到达C点 考点突破 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 在 ABD中 由题意知 ADB BAD 30 所以AB BD 1 因为 ABD 120 由正弦定理得 解得AD 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 在 ACD中 由AC2 AD2 DC2 2AD CD cos 150 得9 3 CD2 2 CD 即CD2 3CD 6 0 解得CD 所以BC BD CD 2个小时小王和小李可徒步攀登1 2
7、50 2 2 500 米 2 5 千米 而 2 5 所以小王和小李可以在2个小时内徒步登上山顶 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 探究 若本例条件 BD 1 km AC 3 km 变为 BD 200 m CD 300 m 其他条件不变 则这条索道AC长为 100 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 在 ABD中 BD 200 ABD 120 因为 ADB 30 所以 DAB 30 由正弦定理 得 所以 所以AD 200 m 在 ADC中 DC 300 m ADC 150 所以AC2 AD2 DC2 2AD DC cos ADC 总纲目录 教材研读 考点突破
8、栏目索引考点突破 200 2 3002 2 200 300 cos 150 390 000 所以AC 100 m 故这条索道AC长为100 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 方法技巧 求解距离问题的一般步骤 1 画出示意图 将实际问题转化成三角形问题 2 明确所求的距离在哪个三角形中 有几个已知元素 3 使用正弦定理 余弦定理解三角形 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 易错警示 解三角形时 为避免误差的积累 应尽可能用已知的数据 原始数据 少 用间接求出的量 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 1 1 如图 为了测量A C两点间的距离 选取同一平面上
9、的B D两点 测出 四边形ABCD各边的长度 AB 5 km BC 8 km CD 3 km DA 5 km 且 B 与 D互补 则AC的长为 A A 7 km B 8 km C 9 km D 6 km 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 82 52 2 8 5 cos D 32 52 2 3 5 cos D cos D 在 ACD 中 由余弦定理可计算得AC 7 则AC的长为7 km 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 测量高度 典例2 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得 公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600 m后到达B处 测
10、得此 山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD 100 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 依题意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan 30 100 则此山的高度CD 100 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 易错警示 解决高度问题的注意事项 1 在解决有关高度的问题时 要理解仰角 俯角的概念 2 在实际问题中 可能会遇到同时研究空间与平面 地面 的问题 这时 最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形
11、 这样处理起来既清楚又 不容易出错 3 一般是把高度问题转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关 系的应用 若是空间的问题 则要注意空间图形和平面图形的结合 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 2 1 2018浙江名校协作体联考 如图 为了估测某塔的高度 在同一水 平面的A B两点处进行测量 在点A处测得塔顶C在西偏北20 的方向上 仰角为60 在点B处测得塔顶C在东偏北40 的方向上 仰角为30 若A B 两点相距130 m 则塔CD的高度为 10 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 设CD h m 则AD m BD h m 在 ADB中 ADB 180
12、20 40 120 由余弦定理得AB2 BD2 AD2 2BD AD cos 120 可得 1302 3h2 2 h 解得h 10 负值舍去 故塔的高度为10 m 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 典例3 如图 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇 位于A处 发 现在北偏东45 方向 相距12 km的水面B处 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 km的速度沿南偏东75 方向前进 若红方侦察艇以每小时14 km的速 度 沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求 红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 测量角度问题 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解
13、析 如图 设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇 且经过的时间为x 小时 则AC 14x km BC 10 x km ABC 120 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos 120 解得x 2 负值舍去 故AC 28 km BC 20 km 根据正弦定理得 解得sin 所以要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇 则所需要的时间 为2小时 角 的正弦值为 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 易错警示 解决测量角度问题的注意事项 1 明确方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 根据题意正确画出示意图 这是最
14、关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定 理的综合运用 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 3 1 从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条路线 路线1是从 A沿直 线步行到C 路线2是先从A沿直线步行到景点B处 然后从B沿直线步行 到C 现有甲 乙两位游客从A处同时出发匀速步行 甲的速度是乙的速 度的 倍 甲走路线2 乙走路线1 最后他们同时到达C处 经测量 AB 1 0 40 m BC 500 m 则sin BAC等于 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 解析 依题意 设乙的速度为x m s 则甲的速度为 x m s 因为AB 1 040 m BC 500 m 所以 解得AC 1 260 m 在 ABC中 由余弦定理可知cos BAC 总纲目录 教材研读 考点突破 栏目索引考点突破 所以sin BAC
