《新疆鄯善县第二中学人教A高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新疆鄯善县第二中学人教A高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 空间向量空间向量与立体几何与立体几何 3 2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 学习目标 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 并能运用它们证 明平行问题 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行关系 1 预习导学 挑战自我 点点落实 2 课堂讲义 重点难点 个个击破 3 当堂检测 当堂训练 体验成功 知识链接 怎样用向量来表示点 直线 平面在空间中的位置 答案 1 点 在空间中 我们取一定点O作为基点 那 么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示 我 们把向量 称为点P的位置向量 2 直线 直线的方向向量 和这条直线平行或共线的非零向量 对于直线l上的任一点P
2、 存在实数t 使得 此方程称为 直线的向量参数方程 3 平面 空间中平面 的位置可以由 内两个不共线向量确定 对 于平面 上的任一点P a b是平面 内两个不共线向量 则存在有 序实数对 x y 使得 xa yb 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示 空间中平面的位置 预习导引 1 直线的方向向量和平面的法向量 直线的 方向向量 能平移到直线上的 向量 叫 做直线的一个方向向量 平面的 法向量 直线l 取直线l的 n 叫做平面 的法向量 方向向量 非零 2 空间平行关系的向量表示 1 线线平行 设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则l m
3、 a b a b a1 a2 b1 b2 c1 c2 R 2 线面平行 设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量为u a2 b2 c2 则l a u a u 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 3 面面平行 设平面 的法向量分别为u a1 b1 c1 v a2 b2 c2 则 u v u v c1 c2 R a1 a2 b1 b2 要点一 利用方向向量和法向量判定线面 面面的位置关系 例1 根据下列条件 判断相应的线 面位置关系 1 直线l1与l2的方向向量分别是a 2 3 1 b 6 9 3 解 a 2 3 1 b 6 9 3 2 直线l1与l2的方向向量分别是a 2 1
4、4 b 6 3 3 解 a 2 1 4 b 6 3 3 a b 0且a kb k R a b既不共线也不垂直 即l1与l2相交或异面 u v 3 2 1 0 u v 即 4 平面 与 的法向量分别是u 2 3 4 v 4 2 1 解 u 2 3 4 v 4 2 1 u v 0且u kv k R u与v既不共线也不垂直 即 和 相交但不垂直 5 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 0 8 12 u 0 2 3 解 a 0 8 12 u 0 2 3 规律方法 1 两直线的方向向量共线时 两直线平行 否 则两直线相交或异面 2 直线的方向向量与平面的法向量共线时 直线和平面垂 直 直线的方向向
5、量与平面的法向量垂直时 直线在平面 内或线面平行 否则直线与平面相交但不垂直 3 两个平面的法向量共线 垂直 时 两平面平行 垂直 否 则两平面相交但不垂直 跟踪演练1 根据下列条件 判断相应的线 面位置关系 1 直线l1 l2的方向向量分别是a 1 3 1 b 8 2 2 解 a 1 3 1 b 8 2 2 a b 8 6 2 0 a b 即l1 l2 2 平面 的法向量分别是u 1 3 0 v 3 9 0 解 u 1 3 0 v 3 9 0 v 3u v u 即 3 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 1 4 3 u 2 0 3 解 a 1 4 3 u 2 0 3 a u 0且a k
6、u k R a与u既不共线也不垂直 即l与 相交但不垂直 4 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 3 2 1 u 1 2 1 解 a 3 2 1 u 1 2 1 a u 3 4 1 0 a u 即l 或l 要点二 求平面的法向量 例2 已知点A a 0 0 B 0 b 0 C 0 0 c 求平面ABC的一个 法向量 解 设坐标原点为O 设平面ABC的一个法向量为n x y z 因此 可取n bc ac ab 为平面ABC的一个法向量 规律方法 平面的法向量有无数条 一般用待定系数法求解 解一个三元一次方程组 求得其中一条即可 构造方程组时 注意所选平面内的两向量是不共线的 赋值时保证所求
7、法向量 非零 本题中法向量的设法值得借鉴 要点三 利用空间向量证明平行关系 例3 如图 四棱柱PABCD中 PA 平面ABCD PB与底面成的角为45 底面ABCD为直角梯形 ABC BAD 90 PA BC AD 1 问在棱PD上是否存在一点E 使CE 平面PAB 若存在 求出E点的位置 若不存在 说明理由 证明 分别以AB AD AP为x y z轴建立空间直角坐标系 P 0 0 1 C 1 1 0 D 0 2 0 存在E点为PD中点时 CE 平面PAB 规律方法 利用向量证明平行问题 可以先建立空间直角 坐标系 求出直线的方向向量和平面的法向量 然后根据 向量之间的关系证明平行问题 跟踪演
8、练3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2 E F分别是 BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面ADE 证明 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz 则有D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 B1 2 2 2 设n1 x1 y1 z1 是平面ADE的法向量 令z1 2 则y1 1 所以n1 0 1 2 又因为FC1 平面ADE 所以FC1 平面ADE 2 平面ADE 平面B1C1F 令z2 2 得y2 1 所以n2 0 1 2 因为n1 n2 所以平面ADE 平面B1C1F 1 已知a 2 4 5 b 3 x y 分别是直线
9、l1 l2的方向向量 若 l1 l2 则 D 1 2 3 4 2 若A 1 0 1 B 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向 量为 A 1 2 3 B 1 3 2 C 2 1 3 D 3 2 1 A 1 2 3 4 3 已知线段AB的两端点坐标为A 9 3 4 B 9 2 1 则线段 AB与坐标平面 A xOy平行 B xOz平行 C yOz平行 D yOz相交 C 1 2 3 4 A 4 B 6 C 8 D 8 1 2 3 4 C 课堂小结 1 利用向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及 的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 进行向 量运算 研究点 直线 平面之间的关系 距离和夹角等 3 根 据运算结果的几何意义来解释相关问题 2 证明线面平行问题 可以利用直线的方向向量和平面的法向量 之间的关系 也可以转化为线线平行 利用向量共线来证明
