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1、2016 年全国卷 3 高考文数试题 1 设集合 0 2 4 6 8 10 4 8 AB 则 AB e A 4 8 B 0 2 6 C 0 2 610 D 0 2 4 6 810 2 若 43iz 则 z z A 1 B 1 C 43 i 55 D 43 i 55 3 已知向量BA 1 2 3 2 BC 3 2 1 2 则 ABC A 30 B 45 C 60 D 120 4 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况 绘制了一年中各月平均最高气温和平 均最低气温的雷达图 图中A点表示十月的平均最高气温约为15 B 点表示四月的 平均最低气温约为5 下面叙述不正确的是 A 各月的平均最低气温都在0
2、以上 B 七月的平均温差比一月的平均温差大 C 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D 平均最高气温高于20 的月份有5 个 5 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是M I N 中的一个字 母 第二位是1 2 3 4 5中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A 8 15 B 1 8 C 1 15 D 1 30 6 若 tan 1 3 则 cos2 A 4 5 B 1 5 C 1 5 D 4 5 7 已知 421 333 2 3 25abc 则 A b a c B a b c C b c a D c a b 8 执行右面的程序框图 如果输入的a 4 b 6 那
3、么输出的n A 3 B 4 C 5 D 6 9 在ABC中 B 1 sin 43 BCBCA边上的高等于则 A 3 10 B 10 10 C 5 5 D 3 10 10 10 如图 格纸上小正方形的边长为1 粗实现画出的是某多面体的三视图 则该多面体的表面积为 A 1836 5 B 5418 5 C 90 D 81 11 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的最大值是 A 4 B 9 2 C 6 D 32 3 12 已知O为坐标原点 F是椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点 A B分别为C 的左 右顶点
4、P为C上一点 且PF x轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与y轴交于 点E 若直线BM经过OE的中点 则C的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共3 小题 每小题5 分 13 设x y满足约束条件 210 210 1 xy xy x 则z 2x 3y 5 的最小值为 14 函数y sinx cosx的图像可由函数y 2sinx的图像至少向右平移 个单位长 度得到 15 已知直线l 360 xy 与圆
5、 x2 y2 12 交于 A B 两点 过A B 分别作 l 的垂 线与 x 轴交于 C D 两点 则 CD 16 已知f x 为偶函数 当0 x时 1 x f xex 则曲线y f x 在点 1 2 处的 切线方程式 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 已知各项都为正数的数列 n a满足 1 1a 2 11 21 20 nnnn aaaa I 求 23 aa II 求 n a的通项公式 18 本小题满分12 分 下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 注 年份代码1 7 分别对应年份2008 2014 由折线
6、图看出 可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系 请用相关系数加以说明 建立y 关于 t 的回归方程 系数精确到0 01 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处 理量 附注 参考数据 7 1 9 32 i i y 7 1 40 17 ii i t y 7 2 1 0 55i i yy 2 646 参考公式 1 22 11 yy n ii i nn ii ii ttyy r tt 回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt a ybt 19 本小题满分12 分 如图 四棱锥P ABCD中 PA 地面ABCD AD BC AB AD
7、 AC 3 PA BC 4 M为线段 AD上一点 AM 2MD N 为 PC的中点 I 证明 MN 平面 PAB II 求四面体N BCM 的体积 20 本小题满分12 分 已知抛物线C y 2 2x 的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明AR FQ 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 21 本小题满分12 分 设函数 ln1f xxx I 讨论 f x的单调性 II 证明当 1 x时 1 1 ln x x x III 设1c 证明当 0 1 x时 1 1 x cxc 请考生在22
8、 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请写清 题号 22 本小题满分10 分 选修4 1 几何证明选讲 如图 O中的中点为P 弦PC PD分别交AB于E F两点 若 PFB 2 PCD 求 PCD的大小 若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 证明OG CD 23 本小题满分10 分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中 曲线C1的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 x轴正半轴为 极轴 建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程为 sin I 写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程 II 设点P在C1上 点Q在C2上 求 PQ 的最小值及此时P的直
9、角坐标 24 本小题满分10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数f x 2x a a I 当a 2 时 求不等式f x 6 的解集 II 设函数g x 2x 1 当x R时 f x g x 3 求a的取值范围 绝密 启封并使用完毕前 试题类型 新课标 2016 年普通高等校招生全国统一考试 文数正式答案 第 卷 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 C 2 D 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 B 9 D 10 B 11 B 12 A 第 II卷 二 填空题 本大题共3 小题 每小题5 分 13 10 14 3 1
10、5 4 16 2yx 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 解 由题意得 4 1 2 1 32 aa 5分 由02 12 11 2 nnnnaaaa 得 1 1 2 1 nnnnaaaa 因为 n a的各项都为正数 所以 2 1 1 n n a a 故 n a是首项为1 公比为 2 1 的等比数列 因此 1 2 1 n n a 12分 18 本小题满分12 分 解 由折线图中数据和附注中参考数据得 4t 28 7 1 2 i i tt 55 0 7 1 2 i i yy 89 232 9417 40 7 1 7 1 7 1 ii iii i ii yty
11、tyytt 99 0 646 2255 0 89 2 r 4分 因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用 线性回归模型拟合y与t的关系 6分 由331 1 7 32 9 y及 得103 0 28 89 2 7 1 2 7 1 i i i ii tt yytt b 92 04103 0331 1 tbya 所以 y关于t的回归方程为 ty10 092 0 10分 将 2016 年对应的9t代入回归方程得 82 1910 092 0 y 所以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约1 82 亿吨 12分 19 本小题满分12 分 解 由已知得2 3 2 A
12、DAM 取BP的中点T 连接TNAT 由N为PC中点 知BCTN 2 2 1 BCTN 3分 又BCAD 故TN平 行 且 等 于AM 四 边 形AMNT为 平 行 四 边 形 于 是 ATMN 因为AT平面PAB MN平面PAB 所以 MN平面PAB 6 分 因为PA平面ABCD N为PC的中点 所以N到平面ABCD的距离为PA 2 1 9分 取BC的中点E 连结AE 由3ACAB得BCAE 5 22 BEABAE 由BCAM 得M到BC的距离为5 故5254 2 1 BCMS 所以四面体BCMN的体积 3 54 23 1PA SV BCMBCMN 12分 20 本小题满分12 分 解 由题
13、设 0 2 1 F 设bylayl 21 则0ab 且 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 22 ba RbQaPb b B a A 记过BA 两点的直线为l 则l的方程为0 2abybax 3分 由于F在线段AB上 故01 ab 记AR的斜率为 1 k FQ的斜率为 2 k 则 2 22 1 1 1 kb a ab aaba ba a ba k 所以FQAR 5分 设l与x轴的交点为 0 1 xD 则 2 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF 由题设可得 22 1 2 1 1 ba xab 所以0 1 x 舍去 1 1 x 设满足条件的AB的中点为 yxE
14、当AB与x轴不垂直时 由 DEAB kk 可得 1 1 2 x x y ba 而y ba 2 所以 1 1 2 xxy 当AB与x轴垂直时 E与D重合 所以 所求轨迹方程为1 2 xy 12分 21 本小题满分12 分 解 由题设 f x的定义域为 0 1 1fx x 令 0fx 解得1x 当01x时 0fx f x单调递增 当1x时 0fx f x单调递 减 4分 由 知 f x在1x处取得最大值 最大值为 1 0f 所以当1x时 ln1xx 故当 1 x时 ln1xx 11 ln1 xx 即 1 1 ln x x x 7 分 由 题 设1c 设 1 1 x g xcxc 则 1ln x g
15、 xccc 令 0g x 解得 0 1 ln ln ln c c x c 当 0 xx时 0g x g x单调递增 当 0 xx时 0gx g x单调递 减 9分 由 知 1 1 ln c c c 故 0 01x 又 0 1 0gg 故当01x时 0g x 所以当 0 1 x时 1 1 x cxc 12分 22 本小题满分10 分 选修 4 1 几何证明选讲 解 连结BCPB 则BCDPCBPCDBPDPBABFD 因为BPAP 所以PCBPBA 又BCDBPD 所以PCDBFD 又PCDPFBBFDPFD2 180 所 以 1803 PCD 因 此 60PCD 因为BFDPCD 所以 180
16、EFDPCD 由此知EFDC 四点 共圆 其圆心既在CE的垂直平分线上 又在DF的垂直平分线上 故G就是过 EFDC 四点的圆的圆心 所以G在CD的垂直平分线上 因此CDOG 23 本小题满分10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y 2 C的直角坐标方程为40 xy 5 分 由题意 可设点P的直角坐标为 3cos sin 因为 2 C是直线 所以 PQ的 最小值 即为P到 2 C的距离 d的最小值 3 cossin4 2 sin 2 32 d 8 分 当且仅当2 6 kkZ 时 d取得最小值 最小值为2 此时P的直角坐 标为 3 1 2 2 10 分 24 本小题满分10 分 选修 4 5 不等式选讲 解 当2a时 22 2fxx 解不等式 22 26x 得13x 因此 6f x的解集为 13 xx 5分 当xR时 2 12 f xg xxaax 212 xaxa 1 aa 当 1 2 x时等号成立 所以当xR时 3f xg x等价于 1 3aa 7 分 当1a时 等价于13aa 无解 当1a时 等价于13aa 解得2a 所以a的取值范围
