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1、2016 高考全国 卷文科数学 1 设集合 则 A 1 3 B 3 5 C 5 7 D 1 7 2 设的实部与虚部相等 其中a为实数 则a A 3 B 2 C 2 D 3 3 为美化环境 从红 黄 白 紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中 余 下的 2 种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A B C D 4 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 则b A B C 2 D 3 5 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到的l距离为其短轴长的4 1 则 该椭圆的离心率为 A 3 1 B 2 1 C 3 2 D 4 3 6 若将函数y 2sin
2、2x 6 的图像向右平移4 1 个周期后 所得图像对应的函数为 A y 2sin 2x 4 B y 2sin 2x 3 C y 2sin 2x 4 D y 2sin 2x 3 7 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 若该几 何体的体积是 3 28 则它的表面积是 A 17 B 18 C 20 D 28 8 若 a b 0 0 c 1 则 A logac logbc B logca logcb C a ccb 9 函数y 2x 2 e x 在 2 2 的图像大致为 A B C D 10 执行右面的程序框图 如果输入的n 1 则输出的值满足 A B C D 11
3、平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A 则m n所成角的正弦值为 A B C D 12 若函数在单调递增 则a的取值范围是 A B C D 13 设向量a x x 1 b 1 2 且a b 则x 14 已知 是第四象限角 且sin 则 tan 15 设直线y x 2a与圆C x 2 y2 2 ay 2 0 相交于A B两点 若32AB 则圆C的 面积为 16 某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品A需要甲 材料 1 5kg 乙材料1kg 用 5 个工时 生产一件产品B需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用 3 个工时 生产一件产品A的利润为2100 元
4、 生产一件产品B的利润为900 元 该企 业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600 个工时的条件下 生产产品A 产品 B 的利润之和的最大值为元 17 本 题 满 分12分 已 知是 公 差 为3的 等 差 数 列 数 列满 足 I 求的通项公式 II 求的前n项和 18 本题满分12 分 如图 已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形 PA 6 顶点P在平面ABC内的正投影为点 D D在平面 PAB内的正投影为点E 连接PE并延长交AB于点G I 证明G是AB的中点 II 在图中作出点E在平面PAC内的正投影F 说明作法及理由 并求四面体PDEF的体 积 19 本小题满分12
5、 分 某公司计划购买1 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器 时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 200 元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个 500 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示 1 台机器在购买易损零件上 所需的费用 单位 元 表示购机的同时购买的易损零件数 I 若 19 求y与x的函数解析式 II 若要求 需更换的易损零件数不大于 的频率不小于0 5 求 的最小值 III 假设这100
6、台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件 或每台都购买20 个易 损零件 分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决策依据 购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件 20 本小题满分12 分 在直角坐标系中 直线l y t t 0 交y轴于点M 交抛物线C 于 点P M关于点P的对称点为N 连结ON并延长交C于点H I 求 II 除H以外 直线MH与C是否有其它公共点 说明理由 21 本小题满分12 分 已知函数 2 1 2 xaexxf x I 讨论 xf的单调性 II 若 xf有两个零点 求的取值范围 22 本小题满分10 分 选修4 1 几
7、何证明选讲 如图 OAB是等腰三角形 AOB 120 以 O为圆心 2 1 OA为半径作圆 I 证明 直线AB与 O相切 II 点 C D 在 O上 且 A B C D 四点共圆 证明 AB CD 23 本小题满分10 分 选修4 4 坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy中 曲线C1的参数方程为 tay tax sin1 cos t为参数 a 0 在以坐标 原点为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C2 4cos I 说明C1是哪一种曲线 并将C1的方程化为极坐标方程 II 直线C3的极坐标方程为 0 其中 0满足 tan 0 2 若曲线C1与C2的公共点都在 C3上 求a 24 本小题满
8、分10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数f x x 1 2x 3 I 画出y f x 的图像 II 求不等式 f x 1 的解集 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 C 13 2 3 14 4 3 15 4 16 216000 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 I 由已知 1 22112 1 1 3 a bbb bb得 122112 1 1 3 a bbb bb得 1 2a 所以数列 na 是首项为 2 公差为3 的等差数列 通项公式为31 n an II 由 I 和 11nnnn a bbnb 得 1
9、 3 n n b b 因此 n b是首项为1 公比为 1 3 的等比数列 记 n b的前n项和为 n S 则 1 1 1 31 3 1 22 3 1 3 n n n S 18 I 因为P在平面ABC内的正投影为D 所以 ABPD 因为D在平面 PAB内的正投影为E 所以 ABDE 所以 AB 平面PED 故 ABPG 又由已知可得 PAPB 从而G是AB的中点 II 在平面PAB内 过点E作PB的平行线交PA于点F F即为E在平面PAC 内的正投影 理由如下 由已知可得 PBPA PBPC 又 EFPB 所以EFPC 因此 EF平面PAC 即点F为E在平面PAC内的正投影 连接CG 因为P在平
10、面ABC内的正投影为D 所以D 是正三角形ABC的中心 由 I 知 G是AB的中点 所以D在CG上 故 2 3 CDCG 由 题 设 可 得PC平 面PAB DE平 面PAB 所 以 DEPC 因 此 21 33 PEPG DEPC 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA 可得2 2 2 DEPE 在等腰直角三角形EFP中 可得2 EFPF 所以四面体PDEF的体积 114 222 323 V 19 I 分 x19 及 x 19 分别求解析式 II 通过频率大小进行比较 III 分别求 出您 9 n 20 的所需费用的平均数来确定 试题解析 当19x时 3800y 当19x时 570050
11、0 19 5003800 xxy 所 以y与x的 函 数 解 析 式 为 19 5700500 19 3800 Nx xx x y 由柱状图知 需更换的零件数不大于18 的概率为0 46 不大于19 的概率为 0 7 故n的最小值为19 若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件 则这100 台机器中有70 台在购 买易损零件上的费用为3800 20 台的费用为4300 10 台的费用为4800 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4050 104500904000 100 1 比较两个平均数可知 购买1 台机器的同时应购买19 个易损零件 20 由已知得 0 tM 2 2
12、 t p t P 又N为M关于点 P的对称点 故 2 t p t N ON的方程为x t p y 代入pxy2 2 整理得02 22 xtpx 解得0 1 x p t x 2 2 2 因此 2 2 2 t p t H 所以N为OH的中点 即2 ON OH 直线 MH 与C除H以外没有其它公共点 理由如下 直 线MH的 方 程 为x t p ty 2 即 2 ty p t x 代 入pxy2 2 得 044 22 ttyy 解得tyy2 21 即直线MH与C只有一个公共点 所以除H 以外直线MH与C没有其它公共点 21 I 12112 xx fxxea xxea i 设0a 则当 1x时 0fx
13、 当1 x时 0fx 所以在 1单调递减 在1 单调递增 ii 设0a 由 0fx得 x 1 或 x ln 2a 若 2 e a 则 1 x fxxee 所以fx在 单调递增 若 2 e a 则 ln 2a 1 故当 ln21 xaU时 0fx 当 ln2 1xa时 0fx 所以fx在 ln2 1 a单调递增 在 ln2 1a单调递减 若 2 e a 则21lna 故当 1ln2 xaU时 0fx 当 1 ln2xa时 0fx 所以fx在 1 ln2 a单调递增 在1 ln2a 单调递减 II i 设0a 则由 I 知 fx在 1单调递减 在1 单调递增 又12fefa 取b满足b 0 且ln
14、 22 ba 则 2 33 210 22 a fbba ba bb 所以fx有两个零点 ii 设a 0 则2 x fxxe所以fx有一个零点 iii 设a 0 若 2 e a 则由 I 知 fx在1 单调递增 又当1x时 fx 0 故fx不存在两个零点 若 2 e a 则由 I 知 fx在 1 ln2a单调递减 在ln2 a单调递增 又当1x时fx 0 故fx 不存在两个零点 综上 a 的取值范围为0 22 设E是AB的中点 连结OE 因为 120OAOBAOB 所以OEAB 60AOE 在Rt AOE中 1 2 OEAO 即O到直线AB的距离等于圆O的半径 所以直线AB 与 O相切 E O
15、D C O B A 因 为2OAOD 所 以O不 是 A B C D四 点 所 在 圆 的 圆 心 设 O是 A B C D四点所在圆的圆心 作直线 OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上 又 O在线段AB的垂直平分线上 所以 OOAB 同理可证 OOCD 所以 ABCD 23 cos 1sin xat yat t均为参数 2 22 1xya 1 C为以01 为圆心 a为半径的圆 方程为 222 210 xyya 222 sinxyy 22 2sin10a即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC 两边同乘得 2222 4coscosxyxQ 22 4xyx 即 2 2 24xy 3 C 化为普通方程为2yx 由题意 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得 2 4210 xya 即为 3 C 2 10a 1a 24 如图所示 41 3 321 2 3 4 2 xx fxxx xx 1fx 当1x 41x 解得5x或3x 1x 当 3 1 2 x 3 21x 解得1x或 1 3 x 1 1 3 x 或 3 1 2 x 当 3 2 x 41x 解得5x或3x 3 3 2 x 或5x 综上 1 3 x或13x或5x 1fx 解集为 1 135 3 UU
