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1、第1页 共 23页 勾股定理 一 选择题 1 2015 菏泽 将一副直角三角尺如图放置 若 AOD 20 则 BOC 的大小为 A 140 B 160 C 170 D 150 考点 直角三角形的性质 分析 利用直角三角形的性质以及互余的关系 进而得出 COA 的度数 即可得出答案 解答 将一副直角三角尺如图放置 AOD 20 COA 90 20 70 BOC 90 70 160 故选 B 点评 此题主要考查了直角三角形的性质 得出 COA 的度数是解题关键 2 2015 大连 如图 在 ABC 中 C 90 AC 2 点 D 在 BC 上 ADC 2 B AD 则 BC 的长为 A 1 B 1
2、 C 1 D 1 考点 勾股定理 等腰三角形的判定与性质 分析 根据 ADC 2 B ADC B BAD 判断出 DB DA 根据勾股定理求出DC 的长 从 而求出 BC 的长 解答 ADC 2 B ADC B BAD B DAB DB DA 在 Rt ADC 中 DC 1 BC 1 故选 D 点评 本题主要考查了勾股定理 同时涉及三角形外角的性质 二者结合 是一道好题 3 2015 黑龙江 ABC 中 AB AC 5 BC 8 点 P是 BC 边上的动点 过点P 作 PD AB 于 点 D PE AC 于点 E 则 PD PE 的长是 A 4 8 B 4 8 或 3 8 C 3 8 D 5
3、考点 勾股定理 等腰三角形的性质 专题 动点型 分析 过 A 点作 AF BC 于 F 连结 AP 根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF 的 长 由图形得SABC SABP SACP 代入数值 解答出即可 解答 过 A 点作 AF BC 于 F 连结 AP 第2页 共 23页 ABC 中 AB AC 5 BC 8 BF 4 ABF 中 AF 3 8 3 5 PD 5 PE 12 5 PD PE PD PE 4 8 故选 A 点评 本题主要考查了勾股定理 等腰三角形的性质 解答时注意 将一个三角形的面积转化成两 个三角形的面积和 体现了转化思想 4 2015 淄博 如图 在Rt ABC
4、 中 BAC 90 ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D DE 是 BC 的垂直平分线 点E是垂足 已知DC 5 AD 3 则图中长为4 的线段有 A 4 条 B 3 条 C 2条 D 1 条 考点 勾股定理 角平分线的性质 含30 度角的直角三角形 分析 利用线段垂直平分线的性质得出BE EC 4 再利用全等三角形的判定与性质得出AB BE 4 进而得出答案 解答 BAC 90 ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D DE 是 BC 的垂直平分线 点E 是垂足 AD DE 3 BE EC DC 5 AD 3 BE EC 4 在 ABD 和 EBD 中 ABD EBD AAS AB BE
5、 4 图中长为4 的线段有 3 条 故选 B 点评 此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质 正确得出 BE AB 是解题关键 5 2015 天水 如图 在四边形ABCD 中 BAD ADC 90 AB AD 2 CD 点 P 在四边形ABCD 的边上 若点P 到 BD 的距离为 则点 P的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 第3页 共 23页 考点 等腰直角三角形 点到直线的距离 分析 首先作出AB AD 边上的点P 点 A 到 BD 的垂线段AE 即点 P 到 BD 的最长距离 作 出 BC CD 的点 P 点 C 到 BD 的垂线段CF 即点 P 到 BD
6、的最长距离 由已知计算出AE CF 的长与比较得出答案 解答 过点 A 作 AE BD 于 E 过点 C 作 CF BD 于 F BAD ADC 90 AB AD 2 CD ABD ADB 45 CDF 90 ADB 45 sin ABD AE AB sin ABD 2 sin45 2 2 所以在 AB 和 AD 边上有符合P 到 BD 的距离为的点 2 个 故选A 点评 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离 解题的关键是先求出各边上点到BD 的最大距 离比较得出答案 6 2015 烟台 如图 正方形ABCD 的边长为2 其面积标记为S1 以 CD 为斜边作等腰直角三角 形 以该等腰直角三角
7、形的一条直角边为边向外作正方形 其面积标记为S2 按照此规律继续下 去 则 S2015的值为 A 2012 B 2013 C 2012 D 2013 考点 等腰直角三角形 正方形的性质 专题 规律型 分析 根据题意可知第2 个正方形的边长是 则第 3 个正方形的边长是 进而可找出规律 第n 个正方形的边长是 那么易求S2015的值 解答 根据题意 第一个正方形的边长为2 第二个正方形的边长为 第三个正方形的边长为 第4页 共 23页 第 n个正方形的边长是 所以 S2015的值是 2012 故选 C 点评 本题考查了正方形的性质 等腰直角三角形的性质 勾股定理 解题的关键是找出第n 个正 方形
8、的边长 7 2015 桂林 下列各组线段能构成直角三角形的一组是 A 30 40 50 B 7 12 13 C 5 9 12 D 3 4 6 考点 勾股定理的逆定理 分析 根据勾股定理的逆定理 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方 那么这个是直角三 角形判定则可 如果有这种关系 这个就是直角三角形 解答 解 A 302 40 2 502 该三角形符合勾股定理的逆定理 故是直角三角形 故正确 B 72 122 132 该三角形不符合勾股定理的逆定理 故不是直角三角形 故错误 C 52 92 12 2 该三角形不符合勾股定理的逆定理 故不是直角三角形 故错误 D 32 42 62 该三角形不符
9、合勾股定理的逆定理 故不是直角三角形 故错误 故选 A 点评 本题考查了勾股定理的逆定理 在应用勾股定理的逆定理时 应先认真分析所给边的大小关 系 确定最大边后 再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系 进而作出判断 8 2015 淮安 下列四组线段中 能组成直角三角形的是 A a 1 b 2 c 3 B a 2 b 3 c 4 C a 2 b 4 c 5 D a 3 b 4 c 5 考点 勾股定理的逆定理 分析 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可 解答 解 A 12 22 5 32 不能构成直角三角形 故本选项错误 B 22 32 13 42 不能构成直角三角形 故本选项错
10、误 C 22 42 20 52 不能构成直角三角形 故本选项错误 D 3 2 42 25 52 能构成直角三角形 故本选项正确 故选 D 点评 本题考查的是勾股定理的逆定理 熟知如果三角形的三边长a b c 满足 a2 b2 c2 那么这 个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 9 2015 广西 下列各组线段中 能够组成直角三角形的一组是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 4 5 6 D 1 考点 勾股定理的逆定理 分析 根据勾股定理的逆定理 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是 直角三角形判定则可 解答 解 A 12 2 2 32 不能组成直角三角形 故错误 B 2
11、2 32 42 不能组成直角三角形 故错误 C 4 2 52 62 不能组成直角三角形 故错误 D 12 2 2 能够组成直角三角形 故正确 故选 D 第5页 共 23页 点评 本题考查了勾股定理的逆定理 在应用勾股定理的逆定理时 应先认真分析所给边的大小关 系 确定最大边后 再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系 进而作出判断 10 2015 毕节市 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长 其中能构成直角三角形的是 A B 1 C 6 7 8 D 2 3 4 考点 勾股定理的逆定理 分析 知道三条边的大小 用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较 如果相等 则三角形 为直角三角形
12、 否则不是 解答 解 A 2 2 2 不能构成直角三角形 故错误 B 1 2 2 2 能构成直角三角形 故正确 C 62 72 82 不能构成直角三角形 故错误 D 22 32 42 不能构成直角三角形 故错误 故选 B 点评 本题考查勾股定理的逆定理的应用 判断三角形是否为直角三角形 已知三角形三边的长 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 11 2015 资阳 如图 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm 的点 A 处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A 13
13、cm B 2cm C cm D 2cm 考点 平面展开 最短路径问题 分析 将容器侧面展开 建立 A 关于 EF 的对称点A 根据两点之间线段最短可知A B 的长度即为 所求 解答 解 如图 高为 12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒 此时蚂蚁正好在容器外壁 离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处 A D 5cm BD 12 3 AE 12cm 将容器侧面展开 作A 关于 EF 的对称点A 连接 A B 则 A B 即为最短距离 A B 13 Cm 第6页 共 23页 故选 A 点评 本题考查了平面展开 最短路径问题 将图形展开 利用轴对称的性质和勾股
14、定理进行 计算是解题的关键 同时也考查了同学们的创造性思维能力 二 填空题 12 2015 南昌 如图 在 ABC 中 AB BC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 AOC 60 则当 PAB 为直角三角形时 AP 的长为2或 2或 2 考点 勾股定理 含30 度角的直角三角形 直角三角形斜边上的中线 专题 分类讨论 分析 利用分类讨论 当 APB 90 时 易得 PAB 30 利用锐角三角函数得AP 的长 当 ABP 90 时 分两种情况讨论 情况一 如图2 易得 BP 利用勾股定理可得AP 的长 情况二 如图3 利 用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论 解答 解 当
15、APB 90 时 如图1 AO BO PO BO AOC 60 BOP 60 BOP 为等边三角形 AB BC 4 AP AB sin60 4 2 当 ABP 90 时 情况一 如图 2 AOC BOP 60 BPO 30 BP 2 第7页 共 23页 在直角三角形ABP 中 AP 2 情况二 如图3 AO BO APB 90 PO AO AOC 60 AOP 为等边三角形 AP AO 2 故答案为 2或 2或 2 点评 本题主要考查了勾股定理 含30 直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线 分类讨论 数形结合是解答此题的关键 13 2015 黑龙江 正方形 ABCD 的边长是4 点 P 是
16、AD 边的中点 点 E 是正方形边上的一点 若 PBE 是等腰三角形 则腰长为2 或 或 考点 勾股定理 等腰三角形的判定 正方形的性质 专题 分类讨论 分析 分情况讨论 1 当 BP BE 时 由正方形的性质得出AB BC CD AD 4 A C D 90 根据勾股定理求出BP 即可 第8页 共 23页 2 当 BE PE 时 E 在 BP 的垂直平分线上 与正方形的边交于两点 即为点E 由题意得出 BM BP 证明 BME BAP 得出比例式 即可求出BE 设 CE x 则 DE 4 x 根据勾股定理得出方程求出CE 再由勾股定理求出BE 即可 解答 解 分情况讨论 1 当 BP BE 时 如图 1 所示 四边形 ABCD 是正方形 AB BC CD AD 4 A C D 90 P 是 AD 的中点 AP DP 2 根据勾股定理得 BP 2 2 当 BE PE 时 E 在 BP 的垂直平分线上 与正方形的边交于两点 即为点E 当 E 在 AB 上时 如图2 所示 则 BM BP BME A 90 MEB ABP BME BAP 即 BE 当 E 在 CD 上时 如图3 所示 设 C
