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1、第1页 共 23页 2015 年山东省高考数学试卷 理科 一 选择题 本大题共10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 5 分 已知集合 A x x2 4x 3 0 B x 2 x 4 则 A B A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 2 4 2 5 分 若复数 z 满足 i 其中 i 为虚数单位 则z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3 5 分 要得到函数 y sin 4x 的图象 只需要将函数 y sin4x的图象 个单位 A 向左平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向右平移 4 5 分 已知菱形 ABCD的边长为 a ABC 60 则 A a 2 B a2C a2
2、 D a2 5 5 分 不等式 x 1 x 5 2 的解集是 A 4 B 1 C 1 4 D 1 5 6 5分 已知 x y 满足约束条件 若 z ax y 的最大值为 4 则 a A 3 B 2 C 2 D 3 7 5 分 在梯形 ABCD中 ABC AD BC BC 2AD 2AB 2 将梯形 ABCD 绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A B C D 2 8 5 分 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机抽取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布 N 2 则 P 68 26 P 2 2 95
3、44 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 9 5 分 一条光线从点 2 3 射出 经 y 轴反射后与圆 x 3 2 y 2 第2页 共 23页 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 A 或 B 或 C 或 D 或 10 5 分 设函数 f x 则满足 f f a 2 f a 的 a 的取值 范围是 A 1 B 0 1 C D 1 二 填空题 本大题共5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 5 分 观察下列各式 C 40 C C 41 C C C 42 C C C C 43 照此规律 当 n N 时 C C C C 12 5 分 若 x 0 tanx m 是真命
4、题 则实数 m 的最小值为 13 5 分 执行右边的程序框图 输出的T的值为 14 5 分 已知函数 f x a x b a 0 a 1 的定义域和值域都是 1 0 第3页 共 23页 则 a b 15 5 分 平面直角坐标系xOy中 双曲线 C1 1 a 0 b 0 的 渐近线与抛物线C2 x2 2py p 0 交于点 O A B 若 OAB的垂心为 C2的 焦点 则 C1的离心率为 三 解答题 16 12 分 设 f x sinxcosx cos 2 x 求 f x 的单调区间 在锐角 ABC中 角 A B C的对边分别为 a b c 若 f 0 a 1 求 ABC面积的最大值 17 12
5、 分 如图 在三棱台DEF ABC中 AB 2DE G H分别为 AC BC的中 点 求证 BD 平面 FGH 若 CF 平面 ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面 FGH与平面 ACFD 所成的角 锐角 的大小 18 12 分 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 2Sn 3n 3 求 an 的通项公式 若数列 bn 满足 anbn log3an 求 bn 的前 n 项和 Tn 19 12 分 若 n 是一个三位正整数 且n 的个位数字大于十位数字 十位数字 大于百位数字 则称n 为 三位递增数 如 137 359 567 等 在某次数学趣 味活动中 每位参加者需从所有
6、的 三位递增数 中随机抽取 1 个数 且只能抽取 一次 得分规则如下 若抽取的 三位递增数 的三个数字之积不能被5 整除 参 加者得 0 分 若能被 5 整除 但不能被 10 整除 得 1 分 若能被 10 整除 得 第4页 共 23页 1 分 写出所有个位数字是5 的 三位递增数 若甲参加活动 求甲得分X的分布列和数学期望EX 20 13 分 平面直角坐标系xOy 中 已知椭圆 C 1 a b 0 的离 心率为 左 右焦点分别是F1 F2 以 F1为圆心以 3 为半径的圆与以F2为圆 心以 1 为半径的圆相交 且交点在椭圆C上 求椭圆 C的方程 设椭圆 E 1 P 为椭圆 C上任意一点 过点
7、P的直线 y kx m 交椭圆 E于 A B 两点 射线 PO交椭圆 E于点 Q i 求 的值 ii 求 ABQ面积的最大值 21 14 分 设函数 f x ln x 1 a x2 x 其中 a R 讨论函数 f x 极值点的个数 并说明理由 若 x 0 f x 0 成立 求 a 的取值范围 第5页 共 23页 2015 年山东省高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 5 分 已知集合 A x x2 4x 3 0 B x 2 x 4 则 A B A 1 3 B 1 4 C 2 3 D 2 4 分析 求出集合 A 然后求出两个集合
8、的交集 解答 解 集合 A x x2 4x 3 0 x 1 x 3 B x 2 x 4 则 A B x 2 x 3 2 3 故选 C 点评 本题考查集合的交集的求法 考查计算能力 2 5 分 若复数 z 满足 i 其中 i 为虚数单位 则z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 分析 直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可 解答 解 i 则 i 1 i 1 i 可得 z 1 i 故选 A 点评 本题考查复数的基本运算 基本知识的考查 3 5 分 要得到函数 y sin 4x 的图象 只需要将函数 y sin4x的图象 个单位 A 向左平移 B 向右平移 C 向左平移 D 向右平移 分
9、析 直接利用三角函数的平移原则推出结果即可 解答 解 因为函数 y sin 4x sin 4 x 要得到函数 y sin 4x 的图象 只需将函数y sin4x的图象向右平移单 第6页 共 23页 位 故选 B 点评 本题考查三角函数的图象的平移 值域平移变换中x 的系数是易错点 4 5 分 已知菱形 ABCD的边长为 a ABC 60 则 A a 2 B a2C a2 D a2 分析 由已知可求 根据 代 入可求 解答 解 菱形 ABCD的边长为 a ABC 60 a2 a a cos60 则 故选 D 点评 本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算 属于基础试题 5 5 分 不等式 x
10、 1 x 5 2 的解集是 A 4 B 1 C 1 4 D 1 5 分析 运用零点分区间 求出零点为1 5 讨论 当 x 1 当 1 x 5 当 x 5 分别去掉绝对值 解不等式 最后求并集即可 解答 解 当 x 1 不等式即为 x 1 x 5 2 即 4 2 成立 故 x 1 当 1 x 5 不等式即为 x 1 x 5 2 得 x 4 故 1 x 4 当 x 5 x 1 x 5 2 即 4 2 不成立 故 x 综上知解集为 4 故选 A 点评 本题考查绝对值不等式的解法 主要考查运用零点分区间的方法 考查 运算能力 属于中档题 第7页 共 23页 6 5分 已知 x y 满足约束条件 若 z
11、 ax y 的最大值为 4 则 a A 3 B 2 C 2 D 3 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用目标函数的几何意义 利用数形结 合确定 z的最大值 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 阴影部分 则 A 2 0 B 1 1 若 z ax y 过 A时取得最大值为 4 则 2a 4 解得 a 2 此时 目标函数为z 2x y 即 y 2x z 平移直线 y 2x z 当直线经过 A 2 0 时 截距最大 此时z 最大为 4 满 足条件 若 z ax y 过 B时取得最大值为 4 则 a 1 4 解得 a 3 此时 目标函数为z 3x y 即 y 3x z 平移直线 y 3x z 当
12、直线经过 A 2 0 时 截距最大 此时z 最大为 6 不 满足条件 故 a 2 故选 B 点评 本题主要考查线性规划的应用 结合目标函数的几何意义 利用数形结 合的数学思想是解决此类问题的基本方法 确定目标函数的斜率关系是解决本题 第8页 共 23页 的关键 7 5 分 在梯形 ABCD中 ABC AD BC BC 2AD 2AB 2 将梯形 ABCD 绕 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A B C D 2 分析 画出几何体的直观图 利用已知条件 求解几何体的体积即可 解答 解 由题意可知几何体的直观图如图 旋转体是底面半径为1 高为 2 的圆柱 挖去一个相同底面高
13、为1 的倒圆锥 几何体的体积为 故选 C 点评 本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力以及计算能力 画出 几何体的直观图是解题的关键 8 5 分 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机抽取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布 N 2 则 P 68 26 P 2 2 95 44 A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 分析 由题意 P 3 3 68 26 P 6 6 95 44 可得 P 3 6 95 44 68 26 即可得出结论 解答 解 由题意 P 3 3 68 26 P 6 6 95 44
14、所以 P 3 6 95 44 68 26 13 59 第9页 共 23页 故选 B 点评 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 考查正态分布中两 个量 和 的应用 考查曲线的对称性 属于基础题 9 5 分 一条光线从点 2 3 射出 经 y 轴反射后与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 A 或 B 或 C 或 D 或 分析 点 A 2 3 关于 y 轴的对称点为 A 2 3 可设反射光线所 在直线的方程为 y 3 k x 2 利用直线与圆相切的性质即可得出 解答 解 点 A 2 3 关于 y 轴的对称点为 A 2 3 故可设反射光线所在直线的方程为 y 3
15、k x 2 化为 kx y 2k 3 0 反射光线与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 圆心 3 2 到直线的距离 d 1 化为 24k2 50k 24 0 k 或 故选 D 点评 本题考查了反射光线的性质 直线与圆相切的性质 点到直线的距离公 式 点斜式 对称点 考查了计算能力 属于中档题 10 5 分 设函数 f x 则满足 f f a 2 f a 的 a 的取值 范围是 A 1 B 0 1 C D 1 分析 令 f a t 则 f t 2t 讨论 t 1 运用导数判断单调性 进而得到 方程无解 讨论 t 1 时 以及 a 1 a 1 由分段函数的解析式 解不等式即 可得到所求范围 解答
16、解 令 f a t 第10页 共 23页 则 f t 2t 当 t 1 时 3t 1 2t 由 g t 3t 1 2t的导数为 g t 3 2tln2 在 t 1 时 g t 0 g t 在 1 递增 即有 g t g 1 0 则方程 3t 1 2t无解 当 t 1 时 2t 2t成立 由 f a 1 即 3a 1 1 解得 a 且 a 1 或 a 1 2a 1 解得 a 0 即为 a 1 综上可得 a 的范围是 a 故选 C 点评 本题考查分段函数的运用 主要考查函数的单调性的运用 运用分类讨 论的思想方法是解题的关键 二 填空题 本大题共5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 5 分 观察下列各式 C 40 C C 41 C C C 42 C C C C 43 照此规律 当 n N 时 C C C C 4n 1 分析 仔细观察已知条件 找出规律 即可得到结果 解答 解 因为 C 40 C C 41 第11页 共 23页 C C C 42 C C C C 43 照此规律 可以看出等式左侧最后一项 组合数的上标与等式右侧的幂指数相同 可得 当 n N 时 C C C C 4n 1
