《江苏省2015高考数学一轮复习第五章第32课正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学（pdf） (1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2015高考数学一轮复习第五章第32课正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学（pdf） (1).pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 正 余弦定理的综合应用 正 余弦定理的综合应用 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且bsin A 3 acos B 1 求角B的大小 2 若b 3 sin C 2sin A 求a c的值 思维引导 思维引导 对于 1 可结合正弦定理将bsin A acos B转化为角的关系 然后再 求角B的大小 对于 2 可先结合余弦定理求边a 然后再求c 解答 解答 1 因为bsin A 3 acos B 由正弦定理可得sin Bsin A 3 sin Acos B 即tan B 3 所以B 3 2 因为sin C 2sin A 由正弦定理得c 2
2、a 由余弦定理b 2 a2 c2 2accos B 9 a 2 4a2 2a 2acos 3 解得a 3 所以c 2a 2 3 题组强化 重点突破 题组强化 重点突破 1 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 若sinA 3 sinC B 30 b 2 则 ABC 的面积是 答案 答案 3 解 析 解 析 由 正 弦 定 理 得 a 3 c 由 余 弦 定 理 得 b 2 a2 c2 2ac cosB 即 4 3c 2 c2 23 c c cos30 所以c 2 a 2 3 所以S 1 2 acsin30 3 2 2014 景德镇质检 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a
3、b c 且满足 a 2sinA cosB cosC 2a c b c 0 1 求c的值 2 求 ABC面积的最大值 解答 解答 1 因为 cosB cosC 2a c b c 0 所以ccosB 2acosC bcosC 0 所以sinCcosB sinBcosC 2sinAcosC 0 所以sinA 2sinAcosC 0 因为sinA 0 所以cosC 1 2 因为0 C 所以C 2 3 所以c a sinA sinC 3 2 因为cosC 1 2 22 3 2 ab ab 所以a 2 b2 ab 3 所以3ab 3 即ab 1 当且仅当a b 1时取等号 所以S ABC 1 2 absi
4、nC 3 4 所以 ABC面积的最大值为 3 4 3 2014 苏州期末 在 ABC中 设角A B C的对边分别为a b c 且acosC 1 2 c b 1 求角A的大小 2 若a 15 b 4 求边c的大小 解答 解答 方法一 1 由正弦定理和acosC 1 2 c b 得sinAcosC 1 2 sinC sinB 因为sinB sin A C sinAcosC cosAsinC 所以 1 2 sinC cosAsinC 因为sinC 0 所以cosA 1 2 因为0 A 所以A 3 2 由余弦定理a 2 b2 c2 2bccosA a 15 b 4 得15 16 c 2 2 4 c 1
5、 2 即c 2 4c 1 0 解得c 2 3 方法二 1 由射影定理及acosC ccosA b 得cosA 1 2 而0 A 所以A 3 2 由正弦定理 a sinA b sinB及sinA 3 2 a 15 b 4 解得sinB 2 5 5 由三角形大边对大角 小边对小角 知cosB 5 5 所以sinC sin A B sinAcosB sin BcosA 3 2 5 5 1 2 2 5 5 2 515 10 再由正弦定理得 a sinA c sinC 求得c 2 3 解三角形的实际应用问题 解三角形的实际应用问题 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 A
6、DB 45 求BD的 长 例2 思维引导 思维引导 由于AB 5 ADB 45 因此要求BD 可在 ABD中 由正弦定理求解 关键是确定 BAD的正弦值 在 ABC中 AB 5 AC 9 ACB 30 因此可用正弦定理 求出sin ABC 再依据 ABC与 BAD互补确定sin BAD即可 解答 解答 在 ABC中 AB 5 AC 9 BCA 30 由正弦定理得 AB sinACB AC sinABC 则sin ABC AC sinBCA AB 0 930 5 sin 9 10 因为AD BC 所以 BAD 180 ABC 所以sin BAD sin ABC 9 10 同理 在 ABD中 AB
7、 5 sin BAD 9 10 ADB 45 由正弦定理得 AB sinADB BD sinBAD 解得BD 9 2 2 精要点评 精要点评 此题需将多边形分割成若干个三角形 在分割时 要注意有利于应 用正 余弦定理 如图 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔 船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20nmile 的C处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB前往B处救援 求cos 例3 思维引导 思维引导 先由正弦定理求得sin BAC 注意到 ACB 30 再利用两角和 的余弦求解 解 答 解 答 在 ABC 中 AB 40 A
8、C 20 BAC 120 由 余 弦 定 理 得 BC 2 AB2 AC2 2AB AC cos120 2 800 所以BC 20 7 由正弦定理得sin ACB AB BC sin BAC 21 7 由 BAC 120 知 ACB为锐角 故cos ACB 2 7 7 故cos cos ACB 30 cos ACBcos30 sin ACBsin30 2 7 7 3 2 21 7 1 2 21 14 精要点评 精要点评 恰当选择三角形利用正 余弦定理解出所需要的边和角 再利用两 角和与差的三角函数公式求解 2014 湖南卷 如图 在平面四边形ABCD中 AD 1 CD 2 AC 7 1 求co
9、s CAD的值 2 若cos BAD 7 14 sin CBA 21 6 求BC的长 解答 解答 1 在 ADC中 由余弦定理得 cos CAD 222 2 ACAD CD AC AD 7 1 4 2 7 2 7 7 2 设 BAC 则 BAD CAD 因为cos CAD 2 7 7 cos BAD 7 14 所以sin CAD 2 1 cosCAD 2 2 7 1 7 21 7 sin BAD 2 1 cosBAD 2 7 1 14 3 21 14 于是sin sin BAD CAD sin BADcos CAD cos BADsin CAD 3 21 14 2 7 7 7 14 21 7
10、3 2 在 ABC中 由正弦定理得 BC sin AC sinCBA 故BC ACsin sinCBA 3 7 2 21 6 3 如图 在一条海防警戒线上的点A B C处各有一个水声监测点 B C两点到点A的 距离分别为20 km和50 km 某时刻 B收到发自静止目标P的一个声波信号 8s后A C点 同时接收到该声波信号 已知声波在水中的传播速度是1 5 km s 范题赏析 1 设点A到目标P的距离为x km 用x表示点B C到目标P的距离 并求x的值 2 求目标P到海防警戒线AC的距离 结果精确到0 01 km 规范答题 规范答题 1 依题意 有PA PC x PB x 1 5 8 x 1
11、2 2分 在 PAB中 AB 20 cos PAB 222 2 PAAB PB PAAB 222 20 12 220 xx x 332 5 x x 4分 同理 在 PAC中 AC 50 cos PAC 222 2 PAAC PC PAAC 222 50 250 xx x 25 x 6分 因为cos PAB cos PAC 所以 332 5 x x 25 x 解得x 31 8分 2 作PD AC于点D 则D为AC的中点 AD 25 在 ADP中 由cos PAD 25 31 得sin PAD 2 1 cosPAD 4 21 31 12分 所以PD PA sin APD 31 4 21 31 4
12、21 18 33 km 故静止目标P到海防警戒线AC的距离约为18 33 km 14分 1 如果某人朝正东方向走x km后 向右转150 然后朝新方向走3 km 结果他离出发 点恰好为 3 km 那么x 答案 答案 2 3 或 3 解析 解析 由余弦定理可得x 2 32 2 3 xcos 30 3 2 解得x 23 或 3 2 已知 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 则角 C 答案 答案 2 3 3 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A的同侧 在所在的河岸边选定一点C 测 出AC的距离为50 m ACB 45 CAB 105 则A B
13、两点的距离为 m 第3题 答案 答案 50 2 解析 解析 由正弦定理得 AB sinACB AC sinB 所以 AB ACsinACB sinB 2 50 2 1 2 50 2 m 4 在一次抗洪抢险中 某救生艇发动机突然发生故障停止转动 失去动力的救生艇 在洪水中漂行 此时 风向是北偏东30 风速是20 km h 水的流向是正东方向 流速 是20 km h 若不考虑其他因素 救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 速度 的大小为 km h 答案 答案 60 20 3 解析 解析 如图 AOB 60 第4题 由余弦定理知OC 2 202 202 800cos 120 1 200 故OC 203 易得 BOC 30 所以 救生艇漂行的方向为北偏东60 温馨提醒 温馨提醒 趁热打铁 事半功倍 请老师布置同学们完成 配套检测与评估 中的练习 第 63 64页
