《天津市第一中学2015届高考数学数列与不等式综合复习资料理（pdf） (1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津市第一中学2015届高考数学数列与不等式综合复习资料理（pdf） (1).pdf（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 11 第二学期 第十三周第二学期 第十三周 课程内容 数列与不等式的交汇专题 2014 2015 学年 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 11 本周我们将进行数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 命题趋向 命题趋向 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现 试题还可能涉及到与导数 函数等知识综合一起考查 主要考查知识重点和热点是数列的通项公式 前 n 项和公式以及 二者之间的关系 等差数列和等比数列 归纳与猜想 数学归纳法 比较大小 不等式证 明 参数取值
2、范围的探求 在不等式的证明中要注意放缩法的应用 此类题型主要考查学生 对知识的灵活变通 融合与迁移 考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能 近 年来加强了对递推数列考查的力度 这点应当引起我们高度的重视 比较新颖的数列与不 等式选择题或填空题有可能会出现 数列解答题的命题热点是与不等式交汇 呈现递推关系的 综合性试题 其中 以函数与数列 不等式为命题载体 有着高等数学背景的数列与不等式的 交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点 而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解 答题 一 考试要求 一 考试要求 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方 法 并能根
3、据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 并能解决简单 的实际问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并能解决简单 的实际问题 4 理解不等式的性质及其证明 5 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并会简单的应用 6 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 7 掌握简单不等式的解法及理解不等式 a b a b a b 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 11 二 考点透视 二 考点透视 1 以客观题考查不等式的性质 解法与
4、数列 等差数列 等比数列的简单交汇 2 以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇 还有可能涉及到导 数 解析几何 三角函数的知识等 深度考查不等式的证明 主要比较法 综合法 分析 法 放缩法 数学归纳法 反证法 和逻辑推理能力及分类讨论 化归的数学思想 试题新 颖别致 难度相对较大 3 将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查 主要考查转化及 方程的思想 题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题 求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略 1 若函数 f x 的定义 域为 D 则当 x D 时 有 f
5、 x M 恒成立 f x min M f x M 恒成立 f x max M 2 利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式 再通过解不等式解得 例 1 例 1 等比数列 an 的公比 q 1 第 17 项的平方等于第 24 项 求使 a1 a2 an 1 a1 1 a2 1 an 恒成立的正整数 n 的取值范围 分析 分析 利用条件中两项间的关系 寻求数列首项 a1 与公比 q 之间的关系 再利用 等比数列前 n 项公式和及所得的关系化简不等式 进而通过估算求得正整数 n 的取值范围 解 解 由题意得 a1q 16 2 a1q 23 a1q 9 1 由等比数列的性质知 数列 1 an 是以
6、1 a1 为首项 以 1 q 为公比的等比数列 要使不等式成 立 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 11 则须 a1 q n 1 q 1 1 a1 1 1 q n 1 1 q 把 a 2 1 q 18 代入上式并整理 得 q 18 q n 1 q 1 1 q n q n q 19 q 1 n 19 故所求正整数n的取值范围是 n 20 点评 点评 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了 主要体现为用数列知识化 简 用不等式知识求得最后的结果 本题解答体现了转化思想 方程思想及估算思想的应用 例 2 例 2 设数列 an 的前n项和为 Sn
7、 已知 a1 a an 1 Sn 3 n n N 设 bn Sn 3 n 求数列 bn 的通项公式 若 an 1 an n N 求 a 的取值范围 分析 分析 第 小题利用 Sn 与 an 的关系可求得数列的通项公式 第 小题 将条件 an 1 an 转化为关于 n 与 a 的关系 再利用 a f n 恒成立等价于 a f n min 求解 解 解 依题意 Sn 1 Sn an 1 Sn 3 n 即 Sn 1 2Sn 3 n 由此得 Sn 1 3 n 1 2 Sn 3 n 因此 所求通项公式为 bn Sn 3 n a 3 2 n 1 n N 由 知 Sn 3 n a 3 2 n 1 n N 于
8、是 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3 n a 3 2 n 1 3 n 1 a 3 2 n 2 2 3 n 1 a 3 2 n 2 an 1 an 4 3 n 1 a 3 2 n 2 2 n 2 12 3 2 n 2 a 3 当 n 2 时 an 1 an 即 2 n 2 12 3 2 n 2 a 3 0 12 3 2 n 2 a 3 0 a 9 综上 所求的 a 的取值范围是 9 点评 点评 一般地 如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式 则可考虑 Sn 与 an 的关系求解 本题求参数取值范围的方法 是一种常用的方法 应当引起重视 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天
9、津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 11 题型二 数列参与的不等式的证明问题题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法 1 比较法 特别是差值比较法是最根本的方法 2 分 析法与综合法 一般是利用分析法分析 再利用综合法分析 3 放缩法 主要是通过分母 分子的扩大或缩小 项数的增加与减少等手段达到证明的目的 例 3 例 3 已知数列 an 是等差数列 其前 n 项和为 Sn a3 7 S4 24 求数列 an 的通项公式 设 p q 都是正整数 且 p q 证明 Sp q 1 2 S2p S2q 分析 分析 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程
10、组即可解 决第 小题 第 小题利用差值比较法就可顺利解决 解 解 设等差数列 an 的公差是 d 依题意得 a1 2d 7 4a1 6d 24 解得 a1 3 d 2 数列 an 的通项公式为 an a1 n 1 d 2n 1 证明 an 2n 1 Sn n a1 an 2 n 2 2n 2Sp q S2p S2q 2 p q 2 2 p q 4p 2 4p 4q 2 4q 2 p q 2 p q 2Sp q S2p S2q 0 Sp q 1 2 S2p S2q 点评 点评 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形 途径主要 有 1 因式分解 2 化平方和的形式 3 如果涉及分式
11、则利用通分 4 如 果涉及根式 则利用分子或分母有理化 例 4 例 4 设数列 an 满足 a1 0 an 1 can 3 1 c c N 其中 c 为实数 证 明 an 0 1 对任意 n N 成立的充分必要条件是 c 0 1 设 0 c 1 3 证明 an 1 3c n 1 n N 设 0 c 1 3 证明 a1 2 a2 2 an 2 n 1 2 1 3c n N 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 11 分析 分析 第 1 小题可考虑用数学归纳法证明 第 2 小题可利用综合法结合不 等关系的迭代 第 3 小题利用不等式的传递性转化等比
12、数列 然后利用前 n 项和求 和 再进行适当放缩 解 解 必要性 a1 0 a2 1 c 又 a2 0 1 0 1 c 1 即 c 0 1 充分性 设 c 0 1 对 n N 用数学归纳法证明 an 0 1 1 当 n 1 时 a1 0 1 2 假设当 n k 时 ak 0 1 k 1 成立 则 ak 1 cak 3 1 c c 1 c 1 且 ak 1 cak 3 1 c 1 c 0 ak 1 0 1 这就是说 n k 1 时 an 0 1 由 1 2 知 当 c 0 1 时 知 an 0 1 对所胡 n N 成立 综上所述 an 0 1 对任意 n N 成立的充分必要条件是 c 0 1 设
13、 0 c 1 3 当 n 1 时 a1 0 结论成立 当 n 2 时 由 an can 1 3 1 c 1 an c 1 an 1 1 an 1 an 1 2 0 c 1 3 由 知 an 1 0 1 所以 1 an 1 an 1 2 3 且 1 an 1 0 1 an 3c 1 an 1 1 an 3c 1 an 1 3c 2 1 an 2 3c n 1 1 a1 3c n 1 an 1 3c n 1 n N 设 0 c 1 3 当 n 1 时 a1 2 0 2 2 1 3c 结论成立 当 n 2 时 由 知 an 1 3c n 1 0 an 2 1 3c n 1 2 1 2 3c n 1
14、3c n 1 1 2 3c n 1 a1 2 a2 2 an 2 a2 2 an 2 n 1 2 3c 3c 2 3c n 1 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 11 n 1 2 1 3c 3c 2 3c n 1 1 n 1 2 1 3c n 1 3c n 1 2 1 3c 点评 点评 本题是数列与不等式 数学归纳法的知识交汇题 属于难题 此类试题在 高考中点占有一席之地 复习时应引起注意 本题的第 小题实质也是不等式的证明 题型三 求数列中的最大值问题题型三 求数列中的最大值问题 求解数列中的某些最值问题 有时须结合不等式来解决 其具体解
15、法有 1 建立目标 函数 通过不等式确定变量范围 进而求得最值 2 首先利用不等式判断数列的单调性 然后确定最值 3 利用条件中的不等式关系确定最值 例 5 例 5 设等差数列 an 的前n项和为 Sn 若 S4 10 S5 15 则 a4 的最大值为 分析 分析 根据条件将前 4 项与前 5 项和的不等关系转化为关于首项 a1 与公差 d 的 不等式 然后利用此不等关系确定公差 d 的范围 由此可确定 a4 的最大值 解 解 等差数列 an 的前n项和为 Sn 且 S4 10 S5 15 S4 4a1 4 3 2 d 10 S5 5a1 5 4 2 d 15 即 a1 3d 5 a1 2d
16、3 a4 a1 3d 5 3d 2 3d 5 3d 2 a4 a1 3d a1 2d d 3 d 5 3d 2 a4 3 d 则 5 3d 6 2d 即 d 1 a4 3 d 3 1 4 故 a4 的最大值为 4 点评 点评 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的 其中确定数列 的公差 d 是解答的关键 同时解答中要注意不等式传递性的应用 例 6 例 6 等比数列 an 的首项为 a1 2002 公比 q 1 2 设 f n 表示该数列的前 n 项的积 求 f n 的表达式 当 n 取何值时 f n 有最大值 高三数学 理 第二学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 11 分析 分析 第 小题首先利用等比数列的通项公式求数列 an 的通项 再求得 f n 的 表达式 第 小题通过商值比较法确定数列的单调性 再通过比较求得最值 解 解 an 2002 1 2 n 1 f n 2002 n 1 2 n n 1 2 由 得 f n 1 f n 2002 2 n 则 当 n 10 时 f n 1 f n 2002 2 n 1 f 11 f 10 f 1
