数字信号处理课件第十一章经典谱估计

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1、第十一章第十一章 经典谱估计经典谱估计 11 1 概述 11 2 自相关函数的估计 11 3 经典谱估计的基本方法 11 4 经典谱估计的质量 11 5 经典谱估计的改进 11 6 算法比较 11 1 概述11 1 概述 请抓住并搞清楚如下四个问题 功率谱为什么要估计 如何估计 如何评价估计质量 如不理想 如何改进 平稳随机信号功率谱的两个定义 平稳随机信号功率谱的两个定义 二者等 效的 2 2 1 lim 21 lim 21 jj m Xx m M jj n X M nM j M P er m e P eEx n e M X e E M 求均值运算随机信号的 单个样本 求极限运算 M xn

2、X n 单一样本 x n ix n j X P e j x P e 平稳信号 有 限 长 可将看作能量信号 因此 可对它作 傅立叶变换 并得到功率谱 2 1 21 M jj n MM nM Pexn e M M xn 问题 的功率谱和单个样本的 功率谱有何关系 和整个随机信号的 功率谱有何关系 M xn j x P e j M Pe j X P e 1 求极限 2 1 lim lim 21 M jjj n xMM MM nM P ePexn e M 2 求均值 jj Xx P eE P e 单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的 功率谱 因此必须有求均值运算 此即如 下定义的来历 2 1 lim

3、 21 M jj n XM M nM P eExn e M 各态遍历信号也是如此 2 1 lim 21 1 lim 21 1 lim 21 M jj n XM M nM MM jm n MM M nM mM MM jm n x M nM mM P eExn e M Exm xn e M r mn e M 双求和变 成单求和 2 2 21 MMM nM mMkM g mnMk g k 2 2 lim 1 21 M jj k Xx M kM j k x k k P er k e M r k e 证明了两个公 式的等效 所 以 自相关函 数是集总自相 关 功率谱的两个定义都要求 样本无穷多 时 间无

4、限长 即需要集总平均 实际工作中 我们往往能得到的是 1 单一的样本 2 单一样本的有限长数据 问题 如何用这单一样本的有限长数据去估 计原随机信号真实的自相关函数和功率谱 11 2自相关函数估计11 2自相关函数估计 自身估计的需要 功率谱估计的需要 1 0 1 Nm x n r mx n x nm N 1 lim 21 N x N nN r mx n x nm N x r mE Xn X nm 集总自相关 时间自相关 实际求出的 自相关函数 近 似 质 量 如 何 Estimation Estimate Estimator 估计子 1 0 1 0 1 1 Nm n Nm n E r mEx

5、 n x nm N E x n x nm N Nm r m N 偏差 自相关函数估计的质量 1 偏差 1 0 1 Nm x n r mx n x nm N 估计方法 bir r mE r mr m 来自定义 单个样本 所有样本 bir m r mr m N 所以 含义 1 bia 0mNr m 固定 渐近无偏估计 2 NmN r mr m 给定 接近 对固定的N 此结论 给出了m的选取原则 3 E r mw m r m 3 E r mw m r m 1 1 Nm w m N NN 三角窗 那儿来的三角窗 在数据上加矩形窗 长 度为 N 该矩形窗函数的自相关函数正是 三角窗 注意矩形窗加在数据上

6、 三角窗 加在相关函数上 体现在估计的自相关函 数的均值上 方差 2 22 var r mEr mE r m E rmE r m 2 方差来自定义 包含两项 2 2 mr N mN mrE 前面结果 11 2 2 00 2 1 1 NmNm nk nk E rmEx n x nmx k x km N E x n x k x nm x km N 四阶统计量 22 E x n x k x nm x km rnkrmr nkm r knm 由 1 1 2 1 var 1 Nm iNm mi r m NN rir im r im 最后 导出 var 0Nr m 有 bia 0 var 0 Nr m N

7、r m 渐近一 致估计 3 自相关函数的计算 已知单个样本的 N 点数据 估计 x r m 1 1 0 Nxxx 两个方法 两个方法 1 直接按定义 1 直接按定义 1 1 xx x r mrm r m mNN 利用 1 0 1 Nm x n r mx n x nm N 最大长度 Step1 将补个零得 Step2 对做FFT 得 Step3 对求幅平方 得 Step4 由得 对其作 IFFT 得 得 N xnN 2 N xn 2 N xn 2 N Xk 2 2 N Xk 2 N Xk 2 2 1 N Xk N 2 2 N Xk 0 mr 2 利用FFT 思考 和有何关系 0 mr x r m

8、 自相关函数的另一个估计方法 估计子 mN n NN mnxnx mN mr 1 0 1 x r m x r m 很容易证明 是的无偏估计 但方差性能不好 在一些谱估计的方法中 有时用到该公式 要求 很好掌握自相关函数 的估计方法及估计性质 11 3 经典谱估计 问题的提出 对随机信号 我们往往 只能得到它的 1 单一的样本 并且仅是 2 单一样本的有限长数据 如何用这 N 数据去估计原随机信号真实的功 率谱 X n x n ix n 1 1 0 Nxxx j x P e 经典谱估计中有两个基本的方法 1 周期图法 Periodogram 1 2 0 1 N j n NPERN n Xx n

9、ePX N 1 2 0 1 N nk NNPERN n Xkx n WPkXk N 思路 对做DTFT FFT 得到频谱 对 该频谱求幅平方 再除以N 即得到 周期图 功率谱 以此作为对真谱的估计 N xn 2 自相关法 Blackman Tukey BT法 1 0 1 Nm x n r mx n x nm N Step1 1 M j m BTx mM Pr m eMN Step2 因为先要估计自相关函数 所以 又称间接法 与此相对应 周期 图法又称直接法 3 直接法和间接法的关系 分两种情况考虑 1 1MN 考虑两种估计方法的离散谱 2 1 2 2 1 2 21 2 0 0 0 1 21 N

10、 jmk N N BTx mN N jmk N m Pkrm e r m ekN x r m 2N 点的谱 把所能估计出的自相关函数都使 用上了 而估计自相关函数时 把 N 点数据 也全都使用上了 2 2 2 1 N PERN PkXk N 21 PERN PkXk N 对补N 个 零 做FFT 得到 N xn IFFT 0 mr 2 21 2 2 0 0 1 21 N jmk N N BT k Pk emN 结论 在时 直接法和间接法 估计的结果是一样的 使用间接法时 往 往取 这时二者是不一样的 因此 直接法可看作是间接法的特例 1MN 1MN 不补零 思考 N xn 即 21 PERN

11、PkXk N N点离散谱 如何和相等 2 N BT Pk 2 1 2 2 1 2 1 0 0 0 1 21 2Re 0 0 1 1 N jmk N N BTx mN N jmk N N BT m Pkrm e kN Pkr m er kN N点离散谱 2 1MN 相当于只用了部分估计的相关函数 即 1 1 M N j m BTM mN M j m MPER mM rmr m v m v mMM Prm v m e rm ePV BTPER PP 所以 加在自相关函数上 目的是将 其截短 第二次加窗 v mMM 直接法和间接法之间的关系 11 4经典谱估计的质量 也分两种情况讨论 1MN 1MN

12、 B 0 D 0 D 12 cov 0PP 有 会产生什么影响 在 12 B 处 12 cov 0PP 说明 随机变量在 处不相关 引起的后果是估计出的谱曲线 起伏剧烈 12 PP 12 原因 功率谱的定义中即要求极限 又要求 均值 而实际的估计方法 仅靠单次实现的 有限长 无极限 又无均值运算 因此产生 上述问题 增大数据长度 效果如何 增大 的主瓣将变窄 因此 引起不相关的区域进一步增多 从而引起 谱曲线的更加起伏 实际上是方差变大 通常 增加 会提高谱的分辨率 对 经典谱估计来说 增加固然会有利于 提高分辨率 但谱曲线的起伏令使用者难 以接受 这是经典谱估计的一个致命缺点 N N N 0

13、 D 分辨率和方差 体现在曲线起伏 是经典谱估计中的一对矛盾 N 16 N 32 00 250 5 40 30 20 10 0 10 00 250 5 20 10 0 10 00 250 5 40 30 20 10 0 10 00 250 5 40 30 20 10 0 10 对白 噪声 在不 同长 度情 况下 估计 出的 谱曲 线 N 64 N 128 二 1 NM VPP PERBT v m 加在估计的窗函数上 1 NMMm 1 偏差 BTPER E PE PV PWV bia BTBT PE PP 谁的主瓣比较宽 VW 假定2 假定1 是慢 变谱 在 的主瓣内近似为 一个常数 1 2 1

14、 2 lim BT N E P PV PVd PVd P 也是渐进无偏估计 P V bia 0 lim BT N P PP 1 2 0 1 Vd v 窗函数的一般要求 2 方差 方差 考虑特殊情况 为白噪序列 其 功率谱应为常数 即 nunx 2 P 时 对白噪声功率 谱估计的方差 1MN 2 4 22 4 sin var 1 sin var lim PER PER N N P N P 4 2 var 2 BT PVd N 时 对白噪声功率 谱估计的方差 1MN 两种情况下估计的方差之比 方差改 进之比 r K 2 2 var 1 2var 1 1 BT r PER M mM P KVd NP

15、 vm N 12 BTBT PP VPP PERBT 1 估计的谱 曲线变得 平滑些 3 方差的减小是以牺牲分辨率为代价的 2 Wk N 原主瓣宽 取决于 现主瓣宽 取决于 2 Vk M 若分辨率能满足要求 这样做是有 意义的 即 既保证了分辨率 又 使估计出的谱较为平滑 11 5 直接法估计的改进11 5 直接法估计的改进 任务 改进对估计 的性能 2 1 PERN PX N P 目标 主要是改进方差的性能 方法 平滑与平均 1 平滑 Smoothing 用对的加窗来实现 mv mr VPP PERBT 平滑 2 平均 Average 理论依据 L个独立同分布随即变量和的分 布 方差减小倍

16、即 L 12 22 L i XXXX XXL 将一个较长的信号分成若干段 对每一段求功 率谱 然后平均之 类似相干平均 用以弥补 经典谱估计中缺少的求均值运算 注意 信号 应是平稳的 且每一段的统计特性基本一样 1 Bartlett平均 将分成份 每份点 即 nxLM NL M 1 d n1 x n i x n 2 xn ML思考 如何确定或者 1 2 0 1 2 10 1 1 11 M iijn PER n LM iij n PERPER in Px n eiL M PPx n e LML 每一 段谱 平均 后谱 nx 在数据上加了数据窗宽度是 1 nd M 结果 在自相关函数上引入了窗函数 它是的自相关 类似引入的 mw 1 PER E PPW 0 nd 1 mw 1 nd 统计性能分析 1 偏差增大 分辨率进一步下降 2 方差减小 但到不了倍 L ML思考 如何确定或者 2 Welth平均 交叠分段 0 1 N M nx 1 x n i x n 2 xn 2 nd 若重叠一半 段数 2 2 NM L M 变大 不一定是矩形窗 如Hamming窗 2 nd 1 2 2 10 1 2