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1、二一年全国高中数学联赛（10月4日上午8：009：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 （A）
2、1 （B）2 （C）4 （D）不确定5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（） （A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）320016已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（） （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7椭圆1（2）的短轴长等于_8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2= 。9、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 ，则
3、直线A1C1与BD1的距离是 。10、不等式的解集为 。11、函数的值域为 。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0aa2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：0012：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：
4、ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本题满分50分）设xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA2命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点 以上三个命题中
5、正确的有（） 0个1个2个3个【答案】B 【解析】由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题1正确，选4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是（） 01212 012或【答案】D【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（）33333666399932001【答案】C6已
6、知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定【答案】A二填空题7 8 9 10 11 12 732 7椭圆1（2）的短轴长等于_【答案】8若复数、满足2，3，32（32），则_【答案】（）1213，（）513故6（）（） （3013）（7213）说明：本题也可以利用复数的几何意义解10不等式（112）232的解集为_【答案】4，或1227，或01【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数
7、的值域为_【答案】1，32）2，）【解析】先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案【答案】732【解析】为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类三解答题13【解析】设所求公差
8、为d，a1a2，d0由此得 化简得：14【解析】(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama15【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 证明如下： 1设当
9、两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB 显然R1R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的个4对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就说明，要证结论成立2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准另证：以BC所在直线为x轴，D为原点
10、建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标为E() 同理可得F() 直线AC的垂直平分线方程为 直线BC的垂直平分线方程为 由 得O() OBDF二【解析】先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 再求最大值，令 设， 令 则 令0，则 三【解析】记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用m1时，
11、命题显然成立AA1BCD1Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，若nk1，则命题显然成立若nk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) (2)关于m归纳可以证明(*)成立 当m1时，由于n1，显然f (m，n)rnn(m，n) 假设当mk时，对任意1nm有f (m，n)rnn(m，n) 若mk1，当nk1时显然f (m，n)k1rnn(m，n) 当1nk时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，ap 不妨a1a2ap 显然a1n或a1n
