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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（江西卷，含答案）第卷一选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知，则实数分别为A BC D2若集合，则A BC D3不等式的解集是A BC D4A B C D不存在5等比数列中，函数，则A B C D6展开式中不含项的系数的和为A B C D7E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则A B C D8直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是A BC D9给出下列三个命题：函数与是同一函数；若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意都有，则为周期函
2、数其中真命题是A B C D10过正方体的顶点A作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作A1条 B2条 C3条 D4条11一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各参入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和则A B C D以上三种情况都有可能 12如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分请把答案填写在答题卡上13已知向量满足与的夹角为60，则_
3、14将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种（用数字作答）15点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则_16如图，在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，分别经过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则的大小关系为_三解答题：本大题共小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，求的值18（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小
4、时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间（1）求的分布列；（2）求的数学期望19（本小题满分12分）设函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值20（本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面BCD，（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值21（本小题满分12分）设椭圆，抛物线（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设，又M、N为与不在轴上的两个交点，若得垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程
5、22（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列理科数学试题参考答案一 选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分1D 2C 3A 4B 5C 6B 7D 8A 9C 10D 11B 12A 二 填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分 13 141080 152 16三 解答题：本大题共6小题，共74分17（本小题满分12分）解：（1）当时，又由得，所以，从而18（本小题满分12分）解：（1）的所有可能取值为：1,3,4,6，所以的分布列为：1346（2）（小时）20（本小题满分12
6、分）解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MO/AB，MO/平面ABCM，O到平面ABC的距离相等作OHBC于H，连MH，则MHBC求得，设点A到平面MBC的距离为，由得即，解得（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，O是BE的中点，则四边形BCED是棱形作于F，连AF，则就是二面角的平面角，设为因为，所以,解法二：取CD中点O，连OB，OM，则又平面平面BCD，则平面BCD取O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，则各点坐标分别为21（本小题满分12分）解：（1）
7、因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得，由，有，所以椭圆的离心率（2）由题设可知M，N关于轴对称，设，则由 的垂心为B，有，所以由于点在上，故有 22（本小题满分14分）证明：（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列（2）若成等差数列，则有，即 选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于因此令，可得易验证满足，因此成等差数列，当时，有且因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：据此例性质有：所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且以成等差数列9
