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1、1 圆锥曲线 一 椭圆 1 椭圆的定义 平面内与两个定点 21 F F的距离的和等于常数 大于 21F F 的点的轨迹 其中 两个定点叫做椭圆的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 2 21F Fa表示椭圆 2 21F Fa表示线段 21F F 2 21F Fa没有轨迹 2 椭圆的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在x轴上中心在原点 焦点在y 轴上 标准方 程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 顶点 0 0 0 0 21 21 bBbB aAaA 0 0 0 0 21 21 aBaB bAbA 对称轴 x轴 y 轴 短轴为b2
2、 长轴为a2 焦点 0 0 21 cFcF 0 0 21 cFcF 焦距 0 2 21 ccFF 222 bac 离心率 10 e a c e 离心率越大 椭圆越扁 通径 2 2b a 过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段 3 常用结论 1 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21 F F 过 1 F的直线交椭圆于BA 两 点 则 2 ABF的周长 2 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左 右两个焦点为 21 F F 过 1 F且垂直于对称轴的直线 交椭圆于QP 两点 则QP 的坐标分别是 PQ 二 双曲线 x O F1 F2 P y A
3、2 B2 B1 x O F1 F2 P y A2 A1 B1 B2 A1 2 1 双曲线的定义 平面内与两个定点 21 F F的距离的差的绝对值等于常数 小于 21F F 的点的轨迹 其中 两个定点叫做双曲线的焦点 焦点间的距离叫做焦距 注意 aPFPF2 21 与aPFPF2 12 2 21F Fa 表示双曲线的一支 2 21F Fa表示两条射线 2 21F Fa没有轨迹 2 双曲线的标准方程 图象及几何性质 中心在原点 焦点在x轴上中心在原点 焦点在y 轴上 标准 方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形 顶点 0 0
4、21aAaA 0 0 21 aBaB 对称轴 x轴 y 轴 虚轴为b2 实轴为a2 焦点 0 0 21cFcF 0 0 21 cFcF 焦距 0 2 21 ccFF 222 bac 离心率 1 e a c e 离心率越大 开口越大 渐近线 x a b yx b a y 通径 2 2b a 3 双曲线的渐近线 求双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线 可令其右边的 1 为 0 即得 0 2 2 2 2 b y a x 因式分解得到 0 xy ab 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程是 2 2 2 2 b y a x 4 等轴双曲线为 222 tyx
5、其离心率为2 x O F1 P B2 B1 F2 x O F1 F2 P y A2 A1 y 3 4 常用结论 1 双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 21 F F 过 1 F的直线交双曲线 的同一支于BA 两点 则 2 ABF的周长 2 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左 右两个焦点为 21 F F 过 1 F且垂直于对称轴的 直线交双曲线于QP 两点 则QP 的坐标分别是 PQ 三 抛物线 1 抛物线的定义 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹 其中 定点为抛物线的焦点 定直线叫做准线 2 抛物线的标准方程
6、图象及几何性质 0p 焦点在x轴上 开口向右 焦点在x轴上 开口向左 焦点在 y 轴上 开口向上 焦点在 y 轴上 开口向下 标准 方程 pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 顶点 0 0 O 对称轴x轴y 轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 离心率1e 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 通径 p2 焦半径 2 0 p xPF 2 0 p yPF 焦点弦 焦准距 p O F P y l x O F P y l x O F P y l x x O F P y l 4 四 弦长公式 14 1 1 2 21 2 21
7、2 21 2 A kxxxxkxxkAB 其中 A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程 消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 2 x的系数 求弦长步骤 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去y 得关 于 x 的一元二次方程 0 2 CBxAx设 11 yxA 22 yxB 由韦达定理求出 A B xx 21 A C xx 21 3 代入弦长公式计算 法 二 若是联立两方程 消去x 得关于 y 的一元二次方程 0 2 CByAy则相应的 弦长公式是 1 14 1 1 1 1 2 21 2 21 2 21 2 Ak yyyy k yy k AB 注意 1 上面用到了关系
8、式 4 21 2 2121 A xxxxxx和 4 21 2 2121 A yyyyyy 注意 2 求与弦长有关的三角形面积 往往先求弦长 再求这边上的高 点到直线的 距离 但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形 且线段的长度为定值 求面积一 般用分割法 五 弦的中点坐标的求法 法 一 1 求出或设出直线与圆锥曲线方程 2 联立两方程 消去y 得关于 x 的一元二次方程 0 2 CBxAx设 11 yxA 22 yxB 由韦达定理求出 A B xx 21 3 设中点 00 yxM 由中点坐标公式得 2 21 0 xx x 再把 0 xx代入直线方程求出 0 yy 法 二 用点差法 设 11
9、 yxA 22 yxB 中点 00 yxM 由点在曲线上 线段 的中点坐标公式 过 A B两点斜率公式 列出 5 个方程 通过相减 代入等变形 求出 00 y x 六 求离心率的常用方法 法一 分别求出a c 再代入公式 法二 建立 a b c 满足的关系 消去 b 再化为关于 e 的方程 最后解方程求 e 求 e 时 要注意椭圆离心率取值范围是0 e 1 而双曲线 离心率取值范围是e 1 5 例 1 设点P 是圆 22 4xy上的任一点 定点D 的坐标为 8 0 若点M 满足 2PMMD u uu u ruuu u r 当点 P 在圆上运动时 求点M 的轨迹方程 解设点 M 的坐标为 x y
10、 点 P 的坐标为 00 xy 由2PMMD uu uu ruuu u r 得 00 2 8 xxyyxy 即 0 316xx 0 3yy 因为点 P 00 xy在圆 22 4xy上 所以 22 00 4xy 即 22 31634xy 即 2 2 164 39 xy 这就是动点 M 的轨迹方程 例 2 已知椭圆的两个焦点为 2 0 2 0 且过点 53 22 求椭圆的标准方程 解法 1 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由椭圆的定义可知 22225353 2 20 202 10 2222 a 10a又 222 2 6cbac所以所求的标准方程为
11、 22 1 106 xy 解法 2 2222 2 4cbacaQ 所以可设所求的方程为 22 22 1 4 xy aa 将点 53 22 代人解得 10a所以所求的标准方程为 22 1 106 xy 例 3 例 4 6 高二圆锥曲线练习题1 1 F1 F2是定点 且 F1F2 6 动点 M满足 MF1 MF2 6 则 M点的轨迹方程是 A 椭圆 B 直线 C 圆 D 线段 2 已知ABC的周长是 16 0 3 A B 0 3 则动点的轨迹方程是 A 1 1625 22 yx B 0 1 1625 22 y yx C 1 2516 22 yx D 0 1 2516 22 y yx 3 已知椭圆的
12、长轴长是短轴长的2 倍 则椭圆的离心率等于 A 1 3 B 3 3 C 1 2 D 3 2 4 设椭圆1C的离心率为 5 13 焦点在x轴上且长轴长为26 若曲线 2 C 上的点到椭圆1 C 的两个 焦点的距离的差的绝对值等于8 则曲线 2 C 的标准方程为 A 22 22 1 43 xy B 22 22 1 135 xy C 22 22 1 34 xy D 22 22 1 1312 xy 5 设双曲线 22 2 10 9 xy a a 的渐近线方程为320 xy 则a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 6 双曲线82 22 yx的实轴长是 A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 7 双曲
13、线 2 4 x 2 12 y 1的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 8 以双曲线 22 1 916 xy 的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 A 22 1090 xyxB 22 10160 xyx 7 C 22 10160 xyx D 22 1090 xyx 9 过椭圆 22 22 xy ab 1 a b 0 的左焦点 1 F 作 x 轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 1 F 2 PF60 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 10 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在 y 轴上的椭圆的 A 充分而不必要条件 B
14、必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 11 写出满足下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴与短轴的和为18 焦距为 6 2 焦点坐标为 0 3 0 3 并且经过点 2 1 3 椭圆的两个顶点坐标分别为 0 3 0 3 且短轴是长轴的 3 1 4 离心率为 2 3 经过点 2 0 12 与椭圆且短有相同的焦点 yx 1 49 22 轴长为 2 的椭圆方程是 13 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F在 x轴上 离心率为 2 2 过 1 F 的直线 l 交C于 A B两点 且2ABF的周长为 16 那么C的方程为 14 已知 12 FF 为椭 圆 22
15、1 259 xy 的两 个 焦 点 过 1 F 的 直 线 交椭 圆于 AB 两 点 若 22 12F AF B 则 AB 15 已知 1 F 2F是椭圆 C 22 22 1 xy ab 0ab 的两个焦点 P为椭圆 C上一点 且 12 PFPF uuu ruu u u r 若 12 PF F 的面积是 9 则 b 16 求心在原点 焦点在坐标轴上 且经过P 4 3 Q 3 22 两点的椭圆方 程 8 圆锥曲线练习题2 1 抛物线xy10 2 的焦点到准线的距离是 A 2 5 B 5C 2 15 D 10 2 若抛物线 2 8yx上一点P到其焦点的距离为9 则点P的坐标为 A 7 14 B 1
16、4 14 C 7 2 14 D 7 2 14 3 以椭圆 22 1 169 xy 的顶点为顶点 离心率为2的双曲线方程 A 1 4816 22 yx B 1 279 22 yx C 1 4816 22 yx 或 22 1 927 yx D 以上都不对 4 以坐标轴为对称轴 以原点为顶点且过圆0962 22 yxyx的圆心的抛物线的方程是 A 2 3xy或 2 3xyB 2 3xy C xy9 2 或 2 3xyD 2 3xy或xy9 2 5 若抛物线xy 2 上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离 则点P的坐标为 A 12 44 B 12 84 C 12 44 D 12 84 6 椭圆1 2449 22 yx 上一点P与椭圆的两个焦点 1 F 2 F的连线互相垂直 则 21F PF的面积为 A 20B 22C 28D 24 7 若点A的坐标为 3 2 F是抛物线xy2 2 的焦点 点M在抛物线上移动时 使MAMF取得 最小值的M的坐标为 A 0 0B 1 2 1 C 2 1D 2 2 8 与椭圆1 4 2 2 y x 共焦点且过点 2 1 Q的双曲线方程是 A 1 2 2 2 y x
