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1、第3讲二次函数、基本初等函数及函数的应用自主学习导引真题感悟1(2012四川)函数yax(a0，且a1)的图象可能是解析利用指数函数的图象与性质解答当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，排除A，B.当0a1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为10，故选D.答案D2(2012湖北)函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为A2B3 C4 D5解析分别判断yx和ycos 2x的零点yx在0,2上的零点为x0，ycos 2x在0,2上的零点x，所以f(x)在区间0,2上的零点个数为5.答案D考题分析对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用
2、、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围题型一般为选择题或填空题，难度中等网络构建高频考点突破考点一：二次函数【例1】已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数审题导引(1)把二次函数式配方并求其最值；(2)利用对称轴与区间的位置关系求a的取值范围规范解答(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1时，f(x)取得最小值1；x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴
3、为直线xa，yf(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5.故a的取值范围是(，55，)【规律总结】二次函数最值的求法求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴【变式训练】1若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析由方程x2mx10有两个不相等的实数根，可得判别式m240，解得m2，或m2，故选C.答案C2设二次函数f(x)ax2bxc，如果f(x1)f(x2)(x1x
4、2)，则f(x1x2)A BCc D.解析f(x1)f(x2)，f(x)的对称轴为x0，得f(x1x2)fabcc.答案C考点二：指数函数、对数函数及幂函数【例2】(1)(2012威海模拟)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是A0a1b11B0ba11C0b1a1D0a1b1(2)(2012运城模拟)已知幂函数yxm22m3(mN)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m_.审题导引(1)利用对数函数的图象特征及指数函数的相关性质解决；(2)令m22m30解不等式，结合函数的奇偶性求得m，但要注意mN.规范解答(1)由图知函数f(x)的零点
5、x00，即f(x0)loga(2x0b1)0，得2x0b11，b22x0.x00，2x01，b1.由图知f(0)loga(20b1)1，且a1，logab1，即ba1，故0a1b1.(2)幂函数yxm22m3(mN)的图象与x轴、y轴无交点，m22m3(m3)(m1)0，即1m3.又mN，m1或m2，当m1时，ym4是偶函数，当m2时满足题意答案(1)D(2)2【规律总结】利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值)(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性；(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解
6、易错提示(1)涉及对数函数与幂函数时，需注意其定义域；(2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证3若x(e1,1)，aln x，bln x，celn x，则Acba BbacCabc Dbca解析x(e1,1)，yln x为(0，)上的增函数，aln x(1,0)，因为yx为R上的减函数，且ln x(1,0)，故bln x，即b(1,2)；因为celn xx(e1,1)，故b1c0a，所以bca.答案D4(2012北京东城二模)已知函数f(x)x，给出下列命题：若x1，则f(x)1；若0x1x2，则f(x2)f(x1)x2x1；若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)；若0x1x2，则
7、f.其中，所有正确命题的序号是_解析若x1，则f(x)1，故正确；令x24，x11，知都不正确；f(x)x是上凸函数，根据其图象可知正确答案 考点三：函数的零点【例3】(1)已知f(x)则函数g(x)f(x)ex的零点个数为A1 B2 C3 D4(2)(2012大同模拟)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)2xk0有且只有两个不同的实根，则实数k的取值范围为_审题导引(1)利用函数f(x)的图象与yex的图象交点的个数来求解g(x)零点的个数；(2)利用数形结合法求解规范解答(1)函数g(x)f(x)ex的零点个数，即为函数f(x)与yex的图象交点的个数，如图所示，作出函数f(x)与yex
8、的图象，由图象，可知两个函数图象有两个交点，函数g(x)f(x)ex有两个零点，故选B.(2)易知f(x)把方程f(x)2xk0化为f(x)2xk，在同一坐标系内作出函数yf(x)与y2xk的图象，由图知1k2.答案(1)B(2)1k2【规律总结】1涉及函数的零点问题的常见类型函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：数值的确定；所在区间的确定；个数的确定解决这类问题的常用方法有解方程，根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解2确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法(2)利用零点的存在性定理(3)利用数形结合法，尤其
9、是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解【变式训练】5函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)解析由题意可知f(2)60，f(1)30，f(0)10，f(1)0，f(2)0，f(1)f(0)0，因此函数f(x)在区间(1,0)上一定有零点答案B6(2012泉州模拟)已知函数yf(x)和yg(x)的定义域及值域均为a，a(常数a0)，其图象如图所示，则方程fg(x)0根的个数为A2 B3 C5 D6解析由f(x)的图象可知方程f(x)0有三个根，分别设为x1，x2，x3，fg(x)0，g
10、(x)x1，g(x)x2或g(x)x3，ax1a，g(x)a，a，由g(x)的图象可知yx1与yg(x)的图象有两个交点，即方程g(x)x1有两个根，同理g(x)x2，g(x)x3各有两个根，所以方程fg(x)0有6个根答案D考点四：函数的实际应用【例4】(2012莆田模拟)如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32 cm2的照片排版设计为纸上左右留空各3 cm，上下留空各2.5 cm，图间留空为1 cm.照此设计，则这张纸的最小面积是_cm2.审题导引设照片的长为x cm，则这张纸的面积可用x来表示，即可求得其最小值规范解答设照片的长为x cm，则宽为cm，所以纸的面积y(x6)2
11、(x6)(x0)，y2666(166)132 cm2，当且仅当x，即x8时等号成立答案132【规律总结】应用函数知识解应用题的步骤(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答【变式训练】7(2012日照模拟)已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点，M、N
12、分别为线段DC、BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积yf(x)的函数图象大致是解析AB2，AC4，BOAC2，ON2x.SAMCSADCSADM42(2x)x，易知BO平面ADC.VNAMCf(x)x(2x)x(2x)故选B.答案B名师押题高考【押题1】设0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使f(x)0的x的取值范围是A(，0)B(0，)C(，loga3) D(loga3，)解析因为0a1，所以ylogax为(0，)上的减函数，因为f(x)0，即loga(a2x2ax2)0，则a2x2ax21，设tax，则t0，不等式变为t22t30，即(t1)(t3)0，解得t3或t1(舍去)由ax3，解得xloga3，故选C.答案C押题依据高考对指数函数与对数函数的考查一般集中在函数的单调性与图象上，本题考查了指数函数、对数函数的单调性，不等式的解法以及换元的数学思想、综合性较强体现了灵活性与能力性，故押此题【押题2】已知函数f(x)的图象与直线yx恰有三个公共点，则实数m的取值范围是A(，1B1,2)C1,2D2，)解析在同一坐标系内作出直线yx与函数yx24x2的图象，直线yx与yf(x)有三个交点，故yx与yx24x2有两个交点与y2有一个交点，1m2.答案B押题依据本题考查了函数零
