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1、1 高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结 一 集合与命题 1 集合元素具有确定性 无序性和互异性 在求有关集合问题时 尤其要注意元素的互异性 如 1 设PQ 为 两个非空实数集合 定义集合 PQab aP bQ 若 0 2 5 P 6 2 1 Q 则PQ中元素的有 个 答 8 2 非空集合 5 4 3 2 1 S 且满足 若Sa 则Sa6 这样的S共有 个 答 7 2 遇到ABI时 你是否注意到 极端 情况 A或B 同样当AB时 你是否忘记A的 情 形 要 注 意 到是 任 何 集 合 的 子 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集 如 集 合 10 Ax ax 2 320Bx
2、 xx 且 ABBU 则实数a 答 1 0 1 2 a 3 对于含有n个元素的有限集合M 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次为 n 2 12 n 12 n 22 n 如 满足 1 2 1 2 3 4 5 M集合 M 有 个 答 7 4 集合的运算性质 A BABAU A BBBAI AB uu AB痧 uu ABABI 痧 uA BUABUe U CABI UU C AC BU UUU CABC AC BUI 如设全集 5 4 3 2 1 U 若 2 BA 4 BACU 5 1 BCAC UU 则 A B 答 2 3 A 2 4 B 5 研究集合问题 一定要理解集合的意义 抓住集合
3、的代表元素 如 x yfx 函数的定义域 y yfx 函数的值域 x yyfx 函数图象上的点集 如设集合 2 Mx yx 集合N 2 y yxxM 则MNI 答 4 6 数轴和韦恩图是进行交 并 补运算的有力工具 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况 补 集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 已知关于x的不等式 2 5 0 ax xa 的解集为 M 若3 M 且 5M求实数a的取值范围 答 5 19 25 3 aU 7 四种命题及其相互关系 若原命题是 若p 则 q 则逆命题为 若q 则 p 否命题为 若p则q 逆否 命题为 若q则p 提醒 1 互为逆否关系的命题
4、是等价命题 即原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命 题同真同假 但原命题与逆命题 否命题都不等价 2 在写出一个含有 或 且 命题的否命题时 要注意 非 或即且 非且即或 3 要注意区别 否命题 与 命题的否定 否命题要对命题的条件和结论都否定 而命题 的否定仅对命题的结论否定 4 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题 一般利用等价关系 ABBA 判断其真假 这也是反证法的理论依据 5 哪些命题宜用反证法 如 1 在 ABC 中 若 C 900 则 A B 都是锐角 的否命题为 答 在ABC中 若90C o 则 AB不都是锐角 2 已知函数 2 1 1 x x f xaa x 证明方程0
5、 xf没有负数根 8 充要条件 关键是分清条件和结论 划主谓宾 由条件可推出结论 条件是结论成立的充分条件 由结论可推 出条件 则条件是结论成立的必要条件 从集合角度解释 若BA 则 A 是 B 的充分条件 若BA 则 A 是 B 的必要条件 若A B 则 A 是 B 的充要条件 如设命题 p 43 1x 命题 q 0 1 12 2 aaxax 若p 是q的必要而不充分的条件 则实数a 的取值范围是 答 1 0 2 二 不等式 1 不等式的性质 1 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 若 ab cd 则acbd 若 ab cd 则acbd 但异向不等式不可以相加 同向不等式不可以相减 2
6、2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘 但不能相除 异向不等式可以相除 但不能相乘 若0 0abcd 则ac bd 若0 0abcd 则 ab cd 3 左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方 若 0ab 则 nn ab或 nn ab 4 若0ab ab 则 11 ab 若0ab ab 则 11 ab 如 1 对于实数cba 中 给出下列命题 22 bcacba则若 babcac则若 22 22 0bababa则若 ba ba 11 0 则若 b a a b ba则若 0 baba则若 0 bc b ac a bac则若 0 11 ab ab 若 则0 0ab 其中正确的命题是 答 2 已知
7、11xy 13xy 则3xy的取值范围是 答 1 7 3 已知cba 且 0cba则 a c 的取值范围是 答 1 2 2 2 不等式大小比较的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作 商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如设2a 1 2 pa a 24 2 2 aa q 试比较qp 的大小 答 pq 3 一元一次不等式的解法 通过去分母 去括号 移项 合并同类项等步骤化为axb的形式 若0a 则 b x a 若0a
8、 则 b x a 若0a 则 当0b时 xR 当0b时 x 如 已 知 关 于x的 不 等 式 0 32 baxba的解集为 3 1 则关于x的不等式0 2 3 abxba的解集为 答 3 x x 4 一元二次不等式的解集 联系图象 尤其当0和0时的解集你会正确表示吗 设0a 12 x x是方程 2 0axbxc的两实根 且 12 xx 则其解集如下表 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 0 1 x xx或 2 xx 1 x xx或 2 xx 12 x xxx 12 x xxx 0 2 b x x a R 2 b x x a 0R R 如解关于x的不等式 0
9、1 1 2 xaax 答 当0a时 1x 当0a时 1x或 1 x a 当01a 时 1 1x a 当1a时 x 当1a时 1 1x a 5 对于方程0 2 cbxax有实数解的问题 首先要讨论最高次项系数a是否为 0 其次若0a 则一定有 04 2 acb 对于多项式方程 不等式 函数的最高次项中含有参数时 你是否注意到同样的情形 如 1 2 22210axax对一切Rx恒成立 则a的取值范围是 答 1 2 2 关于x的方程 f xk 有解的条件是什么 答 kD 其中D为 f x的值域 3 6 一元二次方程根的分布理论 方程 2 0 0 f xaxbxca在 k上有两根 在 m n上有两根
10、在 k和 k上各有一根的充要条件分别是什么 0 0 0 2 f m f n b m a n 0f k 根的分布理论成立的前提是开区间 若在闭区 0 0 2 f k b k a 间 nm讨论方程0 xf有实数解的情况 可先利用在开区间 nm上实根分布的情况 得出结果 再令nx和 mx检查端点的情况 如12 2 24 22 ppxpxxf在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使0 cf 求实数p的取值范围 答 3 3 2 7 二次方程 二次不等式 二次函数间的联系你了解了吗 二次方程 2 0axbxc的两个根即为二次不等式 2 0 0 axbxc的解集的端点值 也是二次函数 2 yaxbxc的图象
11、与x轴的交点的横坐标 如 1 不等式 3 2 xax的解集是 4 b 则a 答 1 8 2 若关于x的不等式0 2 cbxax的解集为 nm 其 中0nm 则 关 于 x的 不 等 式0 2 abxcx的 解 集 为 答 1 1 nm 3 不等式 2 3210 xbx对 1 2 x恒成立 则实数b的取值范围是 答 8 简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每一个因式中最 高次项的系数为正 2 将每一个一次因式的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿 过偶弹回 3 根据曲线显现 f x的符号变化规律 写出不等式的解集 如 1 解不
12、等式 2 1 2 0 xx 答 1 2U 2 不等式 2 2 230 xxx的解集是 答 3 1U 3 设函数 f x g x的定义域都是R 且 0f x的解集为 12 xx 0g x的解集为 则不等式 0f xg xg的解集为 答 12 U 4 要 使 满 足 关 于x的 不 等 式092 2 axx 解 集 非 空 的 每 一 个x的 值 至 少 满 足 不 等 式 086034 22 xxxx和中的一个 则实数a的取值范围是 答 81 7 8 9 分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0 再通分并将分子分母分解因式 并使每 一个因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求
13、解 解分式不等式时 一般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时 可去分母 如 1 解不等式 2 5 1 23 x xx 答 1 12 3U 2 关于x的不等式0bax的解集为 1 求关于x的不等式0 2x bax 的解集 答 12 U 10 绝对值不等式的解法 1 分段讨论 最后结果应取各段的并集 如解不等式 2 1 2 4 3 2 xx 答 R 2 利用绝对值的定义 3 数形结合 如解不等式 1 3xx 答 12 U y a 0 O k x1x2x 4 4 两边平方 如若不等式 32 2 xxa对任意xR恒成立 则实数a的取值范围 答 4 3 11 含参不等式的解法 求解的通法是 定义域为前提
14、函数增减性为基础 分类讨论是关键 注意解完之后 要写上 综上 原不等式的解集是 注意 按参数讨论 最后应按参数取值分别说明其解集 但若按未知数讨 论 最后应求并集 见 4 中例题 12 含绝对值不等式的性质 ab 同号或有0 abab abab ab 异号或有0 abab abab 如设 2 13f xxx 实数a满足 1xa 求证 2 1 f xf aa 13 利用重要不等式求函数最值时 你是否注意到 一正二定三相等 和定积最大 积定和最小 这 17 字方针 如 1 下列命题中正确的是 A 1 yx x 的最小值是2 B 2 2 3 2 x y x 的最小值是2 C 4 23 0 yxx x
15、 的最大值是24 3D 4 23 0 yxx x 的最小值是24 3 2 若21xy 则24 xy 的最小值是 答 2 2 3 正数 x y满足21xy 则 yx 11 的最小值为 答 322 14 常用不等式 有 1 22 2 2211 abab ab ab 当且仅当abc时 取等号 根据目标不等式 左右的结构选用 2 abcR 222 abcabbcca 当且仅当abc时 取等号 3 若 0 0abm 则 bbm aam 糖水的浓度问题 如果正数a b满足3baab 则ab的取值范围是 答 9 15 证明不等式的方法 比较法 分析法 综合法和放缩法 比较法的步骤是 作差 商 后通过分解因式
16、 配方 通分等手段变形判断符号或与1 的大小 然后作出结论 常用的放缩技巧有 2 1111111 1 1 1 1nnn nnn nnn 111 11 121 kkkk kkkkk 如 1 已知cba 求证 222222 cabcabaccbba 2 已知Rcba 求证 222222 cbaabcaccbba 3 已知 a b x yR 且 11 xy ab 求证 xy xayb 4 若 nN 求证 2 1 1 1 nn 2 1nn 5 已知 ab 求证 abab abab 16 不等式的恒成立 能成立 恰成立等问题 不等式恒成立问题的常规处理方式 常应用函数方程思想和 分 离变量法 转化为最值问题 也可抓住所给不等式的结构特征 利用数形结合法 5 1 恒成立问题 若不等式Axf在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 min fxA 若不等式Bxf在区间D上恒成立 则等价于在区间D上 max fxB 如 1 不等式axx34对一切实数x恒成立 求实数a的取值范围 2 若不等式 1 12 2 xmx对满足2m的所有m都成立 则x的取值范围 3 若不等式 2 2210 xmxm对01x的所有实
