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1、一模型界定由于电场或磁场的周期性变化、或是由于电场与磁场在空间上的有界分布，引起带电粒子在空间运动时在运动形式的周期性重现，其解通常需由自然数n来表达的一类问题二模型破解（I）在电场或磁场随时间发生周期性变化而引起带电粒子在空间运动的周期性时:通常需要先分析带电粒子在一个周期内的运动情况，再综合考虑粒子在整个空间中的运动以及题目对粒子运动要求来源:学科网ZXXK例1.如图甲所示，在真空中半径为r的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直，在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为r，板长为2r，两板的中心线O1O2与磁场区域的圆心O在同一直线上，两板左端与O1也在同一直线上。
2、今有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，以速率从圆周上的P点沿垂直于半径OO1，并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点飞出磁场时，给M、N板加上如图乙所示电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板边缘飞出，不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力，求： 例题图（1）磁场的磁感应强度B的大小和方向； （2）交变电压的周期T和电压U0的值； （3）若t=T2时，将粒子从MN板右侧沿板的中心线O2O1仍以速率射入MN板之间，请画出粒子经过磁场中的运动轨迹，并求出粒子从磁场中射出的点到P点的距离。例答图【答案】（1） 垂直纸面向外 （2） 其中（3）（2）带电粒子在电场中水平方向始终是做
3、速度大小为的匀速直线运动；竖直方向上前半个周期内做匀加速运动，后半个周期内做匀减速运动。由于电压的峰值相同，可知每个周期结束时粒子在竖直方向上的分速度恰好减小到零学*科网由于粒子从板间飞出时速度水平，即在竖直方向上最终速度为零，则可知：粒子通过金属板的时间有： 其中从水平方向看： 从竖直方向看： 由以上各式得： 其中 （3）由（2）中知粒子飞离电场即进入磁场时的位置是上板边缘，速度大小仍为v0，方向水平做出粒子在电场及磁场中运动轨迹如图乙所示，由于粒子在磁场中匀速圆周运动的半径，设粒子在磁场出射点为，由几何关系可得：30 = 90所以射出点到P点的距离 = 学*科网例2.如图甲所示，匀强磁场方
4、向垂直直角坐标系xoy向里，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，在t0时刻一个带负电的粒子（重力不计）经电压为U的电场加速后，由原点O沿y轴正方向射入磁场中例题图(1)若粒子比荷，求带电粒子从原点出发到再次回到原点所用时间t；(2)若粒子比荷，求带电粒子在010t0时间内运动轨迹的长度s；(3)若粒子比荷，同时在xoy平面内加上匀强电场，电场方向与y轴正方向相同，电场强度E随时间t的变化规律如图丙所示，运动一段时间后带电粒子能够回到原点O，试确定匀强电场E的可能取值【答案】（1）（2）（3）（n=1,2,3,)来源:Zxxk.Com又解得则(3)若粒子的比荷变为，则带电粒子在磁场中的运动
5、周期在加速电场中被加速后速度为v1据动能定理有 学*科网来源:Zxxk.Com所以在0t时间内无电场而仅有磁场，粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为R1，粒子转过的圆心角，t时刻经x轴沿y轴负方向运动的速率为v1；在t2t时间内无磁场而仅有电场，粒子受到沿y轴负方向的电场力作用，做初速度为v1的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得设2t0时刻粒子的速度为v2，据运动学的知识有在2t3t时间内无电场而仅有磁场，粒子的运动轨道半径设为R2，转过的圆心角仍为，但速度v2v1，所以R2R1；在3t4t时间内无磁场而仅有电场，粒子受到沿y轴负方向的电场力作用，做初速度为v2的匀减速直线运动，4t时刻的速度大小又
6、变为v1；粒子在空间上完成了一个周期性运动，此后在4t5t时间内的运动情况与0t时间内相同；，粒子的运动轨迹如图所示，欲使粒子回到原点，由几何关系，半径R1和R2之间必须满足又，解得（n=1,2,3,) 学*科网三模型演练1.平行金属，板长1.4米，两板相距30厘米，两板间匀强磁场的B为1.310-3特斯拉，两板间所加电压随时间变化关系如甲图所示。当t=0时，有一个a粒子从左侧两板中央以V=4103米/秒的速度垂直于磁场方向射入，如乙图所示。不计a粒子的重力，求：该粒子能否穿过金属板间区域?若不能，打在何处?若能，则需多长时间? (已知a粒子电量q=3.210-19库，质量m=6.6410-2
7、7千克)甲乙练图 则在不加电压的时间内，a粒子恰好能在磁场中运动一周。当两板间又加上第2个周期和第3个周期的电压时，a粒子将重复上述的运动。粒子在板间做匀速直线运动的时间为,而由上述分析可知,粒子在板间每匀速运动经过一个时间,就要做一个完整的圆周运动,粒子做匀速直线运动阶段数为,故做圆周运动的个数为3,粒子在板间运动的总时间为,其运动轨迹如图所示。学*科网2.如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E=40N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图象如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向t=0时刻，一质量m=810-
8、4kg、电荷量q=+210-4C的微粒在O点具有竖直向下的速度v=0.12m/s，O是挡板MN上一点，直线OO与挡板MN垂直，取g=10m/s2求：MNOOv练2图甲BE练2图乙Ot/sB/T0.8-0.85152535102030（1）微粒再次经过直线OO时与O点的距离；（2）微粒在运动过程中离开直线OO的最大高度；（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足的条件【答案】（1）1.2m（2）2.48m（3）L=（1.2n+0.6) m （n=0，1，2)（3）若微粒能垂直射到挡板上的某点P，P点在直线OO下方时，由图象可知，挡板MN与O点间的距离应满足 L=（2.4
9、n+0.6)m（n=0，1，2) 若微粒能垂直射到挡板上的某点P，P点在直线OO上方时，由图象可知，挡板MN与O点间的距离应满足 L=（2.4n+1.8) m （n=0，1，2) 两式也可合写成 L=（1.2n+0.6) m （n=0，1，2)学*科网3.在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示磁场的磁感应强度B随时间t的变化情况如图乙所示该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点在t0时刻，有一个质量为m、电荷量为q的小球(可看做质点)，从M点开始沿着水平直线以速度v0做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点经观测发现，小球在t2t0至t3t0时
10、间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点求：甲 乙练3图(1)电场强度E的大小(2)小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)【答案】（1）（2）（3） (2)小球从M点到达N点所用时间t1t0由于在t2t0至t3t0时间内的某一时刻，小球又竖直向下经过直线MN上的D点,则小球从N点经过个圆周到达P点，所以(n=0,1,2,3)小球从P点运动到D点的位移,小球从P点运动到D点的时间所以时间或,(3)小球运动一个周期的轨迹如图所示小球的运动周期为：T8t0(或(n=0,1,2,3)学*科网（I
11、I）在由于电场或磁场在空间的有界分布而引起带电粒子在空间上的运动周期性时:需要先分析粒子在空间完成一个周期运动后，再分析题目要求与粒子周期性运动之间的关联（i）在电场或磁场的边界是直线边界时，通常需要从粒子在一个周期内运动的距离与整个运动之间的空间联系上来考虑例3.如图所示的直角坐标系中，在直线的y轴区域内存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场的方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上到区域内，连续分布着电荷量为+q，质量为m的粒子。从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的沿x轴正
12、方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。例3题图（1）求匀强电场的电场强度E：（2）求AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？【答案】（1）（2）AC间y坐标为 （2）设到C点的距离为处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时，水平位移为，则 粒子从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向，则解之得：即AC间y坐标为学*科网例4.如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里在x轴上有一点P，离原点的距离为a.现有一带电量q的粒子，质量为m，从y轴上某点由静止开始释放，要使粒
13、子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？(重力作用忽略不计)例4题图【答案】 (n=1,2,3)模型演练4.如图所示，和为平行的虚线，上方和下方都是垂直纸面向里的磁感应强度相同的匀强磁场，两点都在上。带电粒子从点以初速与成斜向上射出，经过偏转后正好过点，经过点时速度方向也斜向上，不计重力。下列说法中正确的是练4图、带电粒子经过点时的速度一定跟在点的速度相同；、若将带电粒子在点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过点；、若将带电粒子在点时的初速度方向改为与成角斜向上，它就不一定经过点；、粒子一定带正电荷；练4题答图【答案】AB 5.在如图所示的坐标系中，的区域内存在着沿轴正方向、场强为E的匀强电
14、场，的区域内存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一带电粒子从轴上的点以沿轴正方向的初速度射出，恰好能通过轴上的点。己知带电粒子的质量为，带电量为。、均大于0。不计重力的影响。练5图 (1)若粒子只在电场作用下直接到达D点，求粒子初速度的大小； (2)若粒子在第二次经过轴时到达D点，求粒子初速度的大小 (3)若粒子在从电场进入磁场时到达D点，求粒子初速度的大小；【答案】（1）（2）（3） 甲 乙练5答图6.如图所示的直角坐标系中，第、象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，在x=2L与y轴之间第、象限内存在大小相等，方向相反的匀强电场，场强方向如图所示。在A（2L，L）到C（2L，0）的连线上连续分布着电量为q、质量为m的粒子。从t=0时刻起，这些带电粒子依次以相同的速度沿x轴正方向射出。从A点射入的粒子刚好沿如图所示的运动轨迹从y轴上的A（0，L）沿x轴正方向穿过y轴。不计粒子的重力及它们间的相互作用，不考虑粒子间的碰撞。练6图（1）求电场强度E的大小（2）在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向穿过y轴（3）若从A点射
