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1、第 1 页 共 13 页 导数题型分类 一 考试内容 导数的概念 导数的几何意义 几种常见函数的导数 两个函数的和 差 基本导数公式 利用导数研究函数的单调性和极值 函数的最大值和最小值 二 热点题型分析 题型一 导数的定义及计算 1 若函数axxfy在处的导数为A 求 t taftaf t 54 lim 0 解 t taftaf t 54 lim 0 A t taftaf t 45 lim 0 2 2 3 3 3 x yx x 求在点处的导数 3 若函数 f x满足 32 1 1 3 f xxfxx则 1 f的值0 4 设曲线 ax ye 在点 0 1 处的切线与直线 210 xy 垂直 则
2、 a 5 利用导数求和 Sn 1 2x 3x 2 nx n 1 x不等于 0且不等于1 题型二 利用导数研究函数的极值 最值 1 32 32f xxx 在区间 1 1 上的最大值是 2 2 已知函数 2 2 xcxxxfy在 处有极大值 则常数c 6 3 函数 3 31xxy 有极小值 1 极大值 3 4 已知函数f x 的导函数 fx的图象如右图所示 那么函数f x 的图象最有可能的是 5 已知函数 32 6 1f xxaxax有极大值和极小值 则实数a 的取值范围是 A 1 a 2 B a 3 或 a 6 C 3 a 6 D a 1 或 a 2 题型三 利用导数几何意义及求切线方程 1 曲
3、线 3 4yxx 在点 1 3 处的切线方程是 2yx 2 若曲线 xxxf 4 在 P点处的切线平行于直线 03yx 则 P点的坐标为 1 0 y x O 1 2 2 A y x O 1 2 2 B y x O 1 2 2 C y x O 1 2 2 D y x O 1 2 1 fx 第 2 页 共 13 页 3 若曲线 4 yx 的一条切线 l与直线 480 xy 垂直 则 l的方程为 430 xy 4 求下列直线的方程 注意解的个数 1 曲线 1 23 xxy 在 P 1 1 处的切线 2 曲线 2 xy 过点 P 3 5 的切线 解 1 123 yk231 1 1 1x 2 23 上
4、在曲线点 xxyxxyP 所以切线方程为 0211yxxy即 2 显然点 P 3 5 不在曲线上 所以可设切点为 00 yxA 则 2 00 xy 又函数的导数为 xy2 所 以 过 00 yxA 点 的切 线的 斜率为 0 2 0 xykxx 又切 线过 00 yxA P 3 5 点 所以 有 3 5 2 0 0 0 x y x 由 联立方程组得 25 5 1 1 0 0 0 0 y x y x 或 即切点为 1 1 时 切线斜率为 22 01 xk 当切点为 5 25 时 切线斜率为 102 02 xk 所以所求的切线有两条 方程分 别为 251012 5 1025 1 21xyxyxyx
5、y或即 或 6 设 P 为曲线 C y x2 2x 3 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0 4 则点 P 横坐标的取值范围为 A 1 1 2 B 1 0 C 0 1 D 1 2 1 7 下列函数中 在 0 上为增函数的是 A y sinx B x yxeC 3 yxxD y ln 1 x x 8 设f x g x 是R上 的 可 导 函 数 fxgx分 别 为f x g x 的 导 数 且 0fx g xf x g x 则当 a xf b g x B f x g x f b g b C f x g a f a g x D f x g x f b g a 10 本题 12
6、 分 已知函数 1 x fxeax 求 f x 的单调增区间 题型四 利用导数研究函数的单调性 极值 最值 1 已知函数 2 2f xxaxa在区间 1 上有最小值 则函数 f x g x x 在区间 1 上一定 A 有最小值 B 有最大值 C 是减函数 D 是增函数 第 3 页 共 13 页 2 已知函数 32 3f xaxbxx在1x处取得极值 求过点A 0 16 作曲线y f x 的切 线 求该切线的方程 3 已知函数 lnf xxx 1 求 f x 的最小值 2 若对所有x 1 都有 f x ax 1 求 a 的取值范围 4 已知函数 2 1 ln 2 fxxx a 其中 a 为大于零
7、的常数 1 当 a 1 时 求函数f x 的单调区间和极值 2 当 1 2 x时 不等式 2f x恒成立 求a 的取值范围 5 已知函数 1 1 23 fPxfycbxaxxxf上的点过曲线 的切线方程为y 3x 1 若函数 2 xxf在 处有极值 求 xf 的表达式 在 的条件下 求函数 xfy 在 3 1 上的最大值 若函数 xfy 在区间 2 1 上单调递增 求实数b 的取值范围 解 1 由 23 223 baxxxfcbxaxxxf求导数得 过 1 1 fPxfy上点 的切线方程为 1 23 1 1 1 1 xbacbayxffy即 而过 13 1 1 xyfPxfy的切线方程为上 故
8、 3 02 3 323 ca ba ca ba 即 124 0 2 2 bafxxfy故时有极值在 由 得 a 2 b 4 c 5 542 23 xxxxf 2 2 23 443 2 xxxxxf 第 4 页 共 13 页 当 0 3 2 2 0 23xfxxfx时当时 13 2 0 1 3 2 fxfxfx 极大 时当 又 4 1 xff 在 3 1 上最大值是13 3 y f x 在 2 1 上单调递增 又 23 2 baxxxf 由 知 2a b 0 依题意 xf 在 2 1 上恒有 xf 0 即 03 2 bbxx 当 6 03 1 1 6 min bbbfxf b x时 当 bbbf
9、xf b x 0212 2 2 6 min 时 当 60 0 12 12 1 6 2 2 min b bb xf b 则时 综上所述 参数b 的取值范围是 0 6 已知三次函数 32 f xxaxbxc 在 1x 和 1x 时取极值 且 2 4f 1 求函数 yf x 的表达式 2 求函数 yf x 的单调区间和极值 3 若函数 4 0 g xf xmm m 在区间 3 mn 上的值域为 4 16 试求 m n应满足 的条件 解 1 2 32fxxaxb 由题意得 1 1是 2 320 xaxb 的两个根 解得 0 3ab 再由 2 4f 可得 2c 3 32f xxx 2 2 333 1 1
10、 fxxxx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 11x 时 0fx 当 1x 时 0fx 当 1x 时 0fx 函数 f x 在区间 1 上是增函数 在区间 1 上是减函数 在区间 1 上是增函数 第 5 页 共 13 页 函数 f x 的极大值是 1 0f 极小值是 1 4f 3 函数 g x 的图象是由 f x 的图象向右平移 m 个单位 向上平移4m个单位得到的 所以 函数 f x 在区间 3 nm 上的值域为 44 164 mm 0m 而 3 20f 4420m 即 4m 于是 函数 f x 在区间 3 4 n 上的值域为 20 0 令 0f x 得 1x 或 2x 由
11、f x 的单调性知 142n剟 即 36n剟 综上所述 m n应满足的条件是 4m 且 36n剟 7 已知函数 lnf xxax 1 R a g xa x 设函数 h xf xg x 求函数 h x 的单调区间 若在1 e上存在一点 0 x 使得 0 f x 0 g x成立 求a的取值范围 7 设函数 f xx xaxb 1 若 f x 的图象与直线 580 xy 相切 切点横坐标为 且 f x 在 1x 处取极值 求实数 a b 的值 2 当 b 1 时 试证明 不论a 取何实数 函数 f x 总有两个不同的极值点 解 1 2 32 fxxab xab 由题意 2 5 1 0ff 代入上式
12、解之得 a 1 b 1 2 当 b 1 时 0fx令得方程 2 32 1 0 xaxa 因 0 1 4 2 aa 故方程有两个不同实根 21 x x 不妨设 21 xx 由 3 21 xxxxxf 可判断 xf 的符号如下 当 时 1xx xf 当 时 21xxx xf 当 时 2xx xf 因此 1 x 是极大值点 2 x 是极小值点 当 b 1 时 不论a 取何实数 函数 f x 总有两个不同的 极值点 第 6 页 共 13 页 题型五 利用导数研究函数的图象 1 如右图 是f x 的导函数 xf 的图象如右图所示 则f x 的图象只可能是 D A B C D 2 函数 的图像为14 3
13、13 xxy A 3 方程 内根的个数为在 2 0 0762 23 xx B A 0 B 1 C 2 D 3 题型六 利用单调性 极值 最值情况 求参数取值范围 1 设函数 10 32 3 1 223 abxaaxxxf 1 求函数 xf 的单调区间 极值 2 若当 2 1 aax 时 恒有 axf 试确定 a 的取值范围 解 1 22 43fxxaxa 3 xaxa 令 0fx 得 12 3xa xa 列表如下 x a a a 3a 3a 3a fx 0 0 f x 极小 Z 极大 f x 在 a 3a 上单调递增 在 a 和 3a 上单调递减 x y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x
14、 y o 4 4 2 4 4 2 2 2 x y y 4 4 2 4 4 2 2 2 6 6 6 6 y x 4 2 o 4 2 2 4 第 7 页 共 13 页 xa时 3 4 3 fxba 极小 3xa时 fxb 极小 2 22 43fxxaxa 0 1a 对称轴 21xaa fx 在 a 1 a 2 上单调递减 22 1 4 1 321 Max faa aaa 22 min 2 4 2 344faa aaa 依题 fxa Max fa min fa 即 21 44 aaaa 解得 4 1 5 a 又0 1a a 的取值范围是 4 1 5 2 已知函数f x x3 ax2 bx c 在 x
15、 2 3 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函 数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式f x c2 恒成立 求c 的取值范围 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由 f 2 3 124 ab0 93 f 1 3 2a b 0 得 a 1 2 b 2 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 2 3 2 3 2 3 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值极小值 所以函数f x 的递增区间是 2 3 与 1 递减区间是 2 3 1 2 f x x3 1 2 x2 2x c x 1 2 当 x 2 3
16、 时 f x 22 27 c 为极大值 而f 2 2 c 则 f 2 2 c 为最大值 要使 f x c2 x 1 2 恒成立 只需c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 题型七 利用导数研究方程的根 1 已知平面向量 a v 3 1 b v 2 1 2 3 1 若存在不同时为零的实数k 和 t 使x v a v t2 3 b v y u v ka v tb v x v y u v 第 8 页 共 13 页 试求函数关系式k f t 2 据 1 的结论 讨论关于t 的方程 f t k 0 的解的情况 解 1 x v y u v x y v u v 0 即 a v t2 3 b v ka v tb v 0 整理后得 k 2 a v t k t2 3 a b v v t2 3 2 b v 0 a b v v 0 2 a v 4 2 b v 1 上式化为 4k t t2 3 0 即 k 4 1 t t2 3 2 讨论方程 4 1 t t2 3 k 0的解的情况 可以看作曲线f t 4 1 t t2 3 与直线 y k 的交点个 数 于是 f t 4 3 t2 1 4 3 t 1 t
