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1、圆锥曲线 概念 方法 题型 及应试技巧总结 1 圆锥曲线的两个定义 1 第一定义 中要 重视 括号 内的限制条件 椭圆中 与两个定点F 1 F2 的距离 的和等于常数2a 且此 常数2a一定要大于 21F F 当常数等于 21F F时 轨迹是线段 F1F 2 当常数小于 21F F时 无轨迹 双曲线中 与两定点F1 F2的距离的差的绝对值 等于常数 2a 且此常数2a一定要小于 F1F 2 定义中的 绝对值 与 2a F 1 F 2 不 可忽视 若2a F 1F2 则轨迹是以F1 F 2 为端点的两条射线 若2a F 1 F 2 则 轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如
2、 1 已知定点 0 3 0 3 21 FF 在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆 的是A 4 21 PFPF B 6 21 PFPF C 10 21 PFPF D 12 2 2 2 1 PFPF 答 C 2 方程 2222 6 6 8xyxy表示的曲线是 答 双曲线的左 支 2 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点 线距为分母 其商即是离心率e 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系 要善于运用第二定义对它们进行相互转化 如已知点 0 22 Q及抛物线 4 2 x y上一动点P x y 则 y PQ 的最小值
3、是 答 2 2 圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程 1 椭圆 焦点在x轴上时1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 参数方程 其中为参数 焦点在y轴上时 2 2 2 2 b x a y 1 0ab 方程 22 AxByC表示椭 圆的充要条件是什么 ABC 0 且 A B C 同号 A B 如 1 已 知 方 程1 23 22 k y k x 表 示 椭 圆 则k的 取 值 范 围 为 答 11 3 2 22 U 2 若Ryx 且623 22 yx 则yx的最大值是 22 yx的最小值是 答 5 2 2 双 曲
4、线 焦 点 在x轴 上 2 2 2 2 b y a x 1 焦 点 在y轴 上 2 2 2 2 b x a y 1 0 0ab 方程 22 AxByC表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异号 如 1 双曲线的离心率等于 2 5 且与椭圆 1 49 22 yx 有公共焦点 则该双曲线的方 程 答 2 2 1 4 x y 2 设中心在坐标原点O 焦点 1 F 2 F在坐标轴上 离心率2e的双曲线C 过点 10 4 P 则 C 的方程为 答 22 6xy 3 抛物线 开口向右时 2 2 0 ypx p 开口向左时 2 2 0 ypx p 开口 向上时 2 2 0 xpy p 开口向下
5、时 2 2 0 xpy p 3 圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆 由x 2 y 2 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 如已知方程 1 21 22 m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 答 2 3 1 1 2 双曲线 由x 2 y 2 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 3 抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点F 1 F2 的 位置 是椭圆 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两 个参数 a b 确定椭圆 双曲线的形
6、状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物 线问题时 首先要判断开口方向 2 在椭圆中 a最大 222 abc 在双曲线中 c最大 222 cab 4 圆锥曲线的几何性质 1 椭圆 以1 2 2 2 2 b y a x 0ab 为例 范围 axabyb 焦点 两个焦点 0 c 对称性 两条对称轴0 0 xy 一个对称中心 0 0 四个顶点 0 0 ab 其中长轴长为2a 短轴长为 2b 准线 两条准线 2 a x c 离心率 c e a 椭圆01e e越小 椭圆越圆 e越大 椭圆越扁 如 1 若椭圆1 5 22 m yx 的离心率 5 10 e 则m的值是 答 3 或 3 25 2 以椭圆
7、上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时 则椭圆长 轴的最小值为 答 22 2 双曲线 以 22 22 1 xy ab 0 0ab 为例 范围 xa或 xa yR 焦点 两个焦点 0 c 对称性 两条对称轴0 0 xy 一个对称中心 0 0 两个顶点 0 a 其中实轴长为2a 虚轴长为2b 特别地 当实轴和虚轴的长相等时 称为等轴双曲线 其方程可设为 22 0 xyk k 准线 两条准线 2 a x c 离 心率 c e a 双曲线1e 等轴双曲线2e e越小 开口越小 e越大 开口越大 两条渐近线 b yx a 如 1 双曲线的渐近线方程是023yx 则该双曲线的离心率等于 答
8、13 2 或 13 3 2 双曲线 22 1axby的离心率为5 则 a b 答 4 或 1 4 3 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x a 0 b 0 中 离心率e 2 2 则两条渐近线夹角 的取值范围是 答 3 2 3 抛物线 以 2 2 0 ypx p为例 范围 0 xyR 焦点 一个焦点 0 2 p 其中 p的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴0y 没有 对称中心 只有一个顶点 0 0 准线 一条准线 2 p x 离心率 c e a 抛物 线1e 如设Raa 0 则抛物线 2 4axy的焦点坐标为 答 16 1 0 a 5 点 00 P xy和椭圆1 2 2 2
9、2 b y a x 0ab 的关系 1 点 00 P xy在椭圆 外 22 00 22 1 xy ab 2 点 00 P xy在椭圆上 2 2 0 2 2 0 b y a x 1 3 点 00 P xy在椭圆 内 22 00 22 1 xy ab 6 直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 0直线与椭圆相交 0直线与双曲线相交 但直线与双 曲线相交不一定有0 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一 个交点 故0是直线与双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 0直线与抛 物线相交 但直线与抛物线相交不一定有0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线 与抛物线相交且只有一个交点 故0也仅是直
10、线与抛物线相交的充分条件 但不是必 要条件 如 1 若直线 y kx 2 与双曲线x 2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围 是 答 3 15 1 2 直线 y kx 1 0 与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点 则m 的取值范围是 答 1 5 5 3 过双曲线1 21 22 yx 的右焦点直线交双曲线于A B 两点 若 AB 4 则 这样的直线有 条 答 3 2 相切 0 直线与椭圆相切 0 直线与双曲线相切 0 直 线与抛物线相切 3 相离 0直线与椭圆相离 0直线与双曲线相离 0直 线与抛物线相离 特别提醒 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种
11、情形 相 切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果 直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 过双曲线 2 2 2 2 b y a x 1 外一点 00 P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下 P 点在两条渐近线之间且 不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两 条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P为原点时不存在这样的直线
12、3 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称 轴的直线 如 1 过点 4 2 作直线与抛物线xy8 2 只有一个公共点 这样的直线有 答 2 2 过点 0 2 与双曲线1 169 22 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 答 44 5 33 3 过双曲线1 2 2 2y x的右焦点作直线l交双曲线于A B 两点 若AB4 则 满足条件的直线l有 条 答 3 4 对于抛物线C xy4 2 我们称满足 0 2 0 4xy的点 00 yxM在抛物线的内 部 若点 00 yxM在抛物线的内部 则直线l 2 00 xxyy与抛物线C 的位置关系是 答
13、相离 5 过抛物线xy4 2 的焦点F作一直线交抛物线于P Q 两点 若线段PF 与 FQ 的长分别是p q 则 qp 11 答 1 6 设双曲线1 916 22 yx 的右焦点为F 右准线为l 设某直线m交其左支 右 支和右准线分别于RQP 则 PFR和QFR的大小关系为 填大于 小于 或等于 答 等于 7 求椭圆2847 22 yx上的点到直线01623yx的最短距离 答 8 13 13 8 直线1axy与双曲线13 22 yx交于A B两点 当a为何值时 A B分 别在双曲线的两支上 当a为何值时 以AB为直径的圆过坐标原点 答 3 3 1a 7 焦半径 圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的
14、距离 的计算方法 利用圆锥曲线的第二 定义 转化到相应准线的距离 即焦半径red 其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离 如 1 已知椭圆1 1625 22 yx 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3 则点 P 到右准线的 距离为 答 35 3 2 已知抛物线方程为xy8 2 若抛物线上一点到y轴的距离等于5 则它到抛物 线的焦点的距离等于 3 若该抛物线上的点M到焦点的距离是4 则点M的坐标为 答 7 2 4 4 点 P在椭圆 1 925 22 yx 上 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 则点 P 的横坐标为 答 25 12 5 抛物线xy2 2 上的两点A B 到焦点的距离和是5
15、 则线段AB 的中点到y轴 的距离为 答 2 6 椭圆1 34 22 yx 内有一点 1 1 P F 为右焦点 在椭圆上有一点M 使 MFMP2之值最小 则点M 的坐标为 答 1 3 62 8 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题 常利用第 一定义和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点 00 P xy到两焦点 12 FF的距离 分 别 为 12 r r 焦 点 12 F PF的 面 积 为S 则 在 椭 圆1 2 2 2 2 b y a x 中 1 2 arccos 21 2 rr b 且当 12 rr即P为短轴端点时 最大为 m ax 2 22 arccos a
16、 cb 2 0 tan 2 Sbc y 当 0 yb即P为短轴端点时 max S的最大值为bc 对于双曲 线 22 22 1 xy ab 的焦点三角形有 21 2 2 1arccos rr b 2 cotsin 2 12 21 brrS 如 1 短轴长为5 离心率 3 2 e 的椭圆的两焦点为 1 F 2 F 过 1 F 作直线交椭圆于 A B 两点 则 2 ABF的周长为 答 6 2 设 P 是等轴双曲线 0 222 aayx右支上一点 F1 F2是左右焦点 若 0 212 FFPF PF1 6 则该双曲线的方程为 答 22 4xy 3 椭圆 22 1 94 xy 的焦点为F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当PF2 PF1 0 时 点 P 的横坐标的取值范围是 答 3 5 3 5 55 4 双曲线的虚轴长为4 离心率e 2 6 F1 F2是它的左右焦点 若过F1的直线 与双曲线的左支交于A B两点 且 AB是 2 AF与 2 BF等差中项 则AB 答 8 2 5 已知双曲线的离心率为2 F1 F2 是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 60 21PF F 312 21F PF S 求
