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1、实用标准文案 精彩文档 二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略 它是根据研究对象的本质属性的相同 点和不同点 将对象分为不同种类然后逐类解决问题 一般地 对于二次函数y a xm 2 n x t s 求最值的问题 解决此类问题的基本 思路为 根据对称轴相对定义域区间的位置 利用分类讨论思想方法 为做到分类时不重不 漏 可画对称轴相对于定义域区间的简图分类 表示对称轴在区间 t s 的左侧 表示对称轴在区间 t s 内且靠近区间的 左端点 表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点 表示对称轴在区间 t s 的右侧 然后 再根据口诀 开口向上 近则小 远则大 开口向
2、下 近则大 远则小 即可快速求出最值 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型 无论哪种题型都围绕着对称轴与 定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一 动轴定区间 型的二次函数最值 例 求函数 2 23f xxax在 0 4 x上的最值 分析 先配方 再根据对称轴相对于区间的位置讨论 然后根据口诀写出最值 解 222 23 3f xxaxxaa 此函数图像开口向上 对称轴x a 当 a 0 时 0 距对称轴x a 最近 4 距对称轴x a 最远 x 0 时 min y 3 x 4 时 max y 19 8a 当 0 a 2 时 a 距对称轴x a 最近 4 距对称轴 x a 最远 x a
3、时 min y 3 a2 x 4 时 max y 19 8a 当 2 a 4 时 a 距对称轴x a 最近 0 距对称轴 x a 最远 x a 时 min y 3 a2 x 0 时 max y 3 当 4 a 时 4 距对称轴x a 最近 0 距对称轴x a 最远 x 4 时 min y 19 8a x 0 时 max y 3 例 2 已知函数 2 21 3fxaxax在区间 3 2 2 上最大值为1 求实数 a 的值 t t s 2s 实用标准文案 精彩文档 分析 取 a 0 a 0 分别化为一次函数与二次函数 根据一次函数 二次函数的性质分 类讨论 解 1 若 a 0 则 f x x 3
4、而 f x 在 3 2 2 上取不到最大值为1 a 0 2 若 a 0 则 2 21 3f xaxax的对称轴为 0 12 2 a x a 若 3 1 2 f 解得 10 3 a 此时 0 233 2 202 x a3 即 2 3 b min 35 3031ugbb 若 30b 31 0解得 31 30 b与 2 3 b矛盾 2 若 1 33 a b时 min 106 3 a yfa即 10a 6 0 解得 3 5 a与 3 a矛盾 综上述 b 1 评注 此题属于 动轴动区间 型的二次函数最值 解决的关键是讨论对称轴与定义域区间 的位置更便于我们分类类讨论 然后依据口诀 很快就可解决问题 最后
5、 我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则 一 分类不重不漏 二 一次 分类只能按已确定的同一标准进行 实用标准文案 精彩文档 二次函数分类讨论补充习题 1 已知函数 2 22fxxx 若Raaax 2 求函数的最小值 并作出最小 值的函数图象 2 已知函数 2 3f xx 若 26f xkx在区间2 1上恒成立 求实数k的取值 范围 3 已知 k 为非零实数 求二次函数 12 2 kxkxy 2 x的最小值 4 已知3a 若函数 2 21fxxax在3 1上的最大值为aM 最小值为am 又已知函数amaMag 求ag的表达式 实用标准文案 精彩文档 含参数的二次函数问题练习题 1 当41x
6、时 求函数24 2 xxy的最小值 2 已知函数1 2 axaxxf 若0 xf恒成立 求实数a的取值范围 3 当20 x时 函数314 2 xaaxxf在2x时 取得最大值 求实 数a的取值范围 4 已知函数32 2 xxy 在mx0时有最大值 3 最小值 2 求实数m的 取值范围 5 已知函数12 2 pxxxf 当0 x时 有0 xf恒成立 求实数 p 的取 值范围 6 方程012 2 xax至少的一个负数根 求实数a的取值范围 7 方程03 22 aaxx的两根都在2 0内 求实数a的取值范围 8 方程kxx 2 3 2 在1 1上有实根 求实数 k 的取值范围 实用标准文案 精彩文档
7、 9 已知 22 23ttxxxf 当31x时 有0 xf恒成立 求实数t的取 值范围 10 已知txxxf23 2 当11x时 有0 xf恒成立 求实数t的取 值范围 11 已知 22 34aaxxxf 当21x时 有0 xf恒成立 求实数a的 取值范围 12 已知bbxxxf 2 3 当12x时 有0 xf恒成立 求实数 b 的取 值范围 13 函数 2 0 fxaxbxc a的图象关于直线 2 b x a 对称 据此可推测 对任意 的非零实数a b c m n p 关于 x 的方程 2 0m f xnf xp的解集不可能是 实用标准文案 精彩文档 A 1 2 B 1 4 C 1 2 3
8、4 D 1 4 16 64 含参数的二次函数问题练习题答案 1 2 min y 2 04a 3 2 1 a 4 21m 5 1p 6 1a 7 23a 8 2 5 16 9 k 9 3t或9t 10 5t 11 1 3 2 a 12 0b 13 D 13解析 设txf则方程 2 0m f xnf xp 可化为0 2 pntmt 若此 方程有两个等根 0 t 则有 0 txf 可以有选项A B 若0 2 pntmt有两个不等根 21 t t 则有 1 txf 2 txf 如图若 1 txf的两根为 21 x x 2 txf的两根为 43 x x 应有 21 x x的中点与 43 x x中点应相同
9、 即 2 41 2 32 选项C 符合要求 而选 项 D中 2 641 2 164 则不满足 故选D 实用标准文案 精彩文档 二次函数在闭区间上的最值 一 知识要点 一元二次函数的区间最值问题 核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论 一般分为 对称轴在区间的左边 中间 右边三种情况 设 求在上的最大值与最小值 分析 将配方 得顶点为 对称轴为 当时 它的图象是开口向上的抛物线 数形结合可得在 m n 上的最值 1 当时 的最小值是的最大值是 中的较大者 2 当时 若 由在上是增函数则的最小值是 最大值是 若 由在上是减函数则的最大值是 最小值是 当时 可类比得结论 二 例题分析归类 一
10、 正向型 是指已知二次函数和定义域区间 求其最值 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨 论往往成为解决这类问题的关键 此类问题包括以下四种情形 1 轴定 区间定 2 轴定 区间变 3 轴变 区间定 4 轴变 区间变 1 轴定区间定 二次函数是给定的 给出的定义域区间也是固定的 我们称这种情况是 定二次函数在 定区间上的最值 例 1 函数在区间 0 3 上的最大值是 最小值是 解 函数是定义在区间 0 3 上的二次函数 其对称 轴方程是 顶点坐标为 2 2 且其图象开口向下 显然其顶点横坐标在 0 3 上 如图 1 所示 函数的最大值为 最小值为 实用标准文案 精彩文档 图 1 练习 已知 求函
11、数的最值 解 由已知 可得 即函数是定义在区间上的二次 函 数 将 二 次 函 数 配 方得 其 对 称 轴 方 程 顶 点 坐 标 且图象开口向上 显然其顶点横坐标不在区间内 如图2 所示 函 数的最小值为 最大值为 图 2 2 轴定区间变 二次函数是确定的 但它的定义域区间是随参数而变化的 我们称这种情况是 定函数 在动区间上的最值 例 2 如果函数定义在区间上 求的最小值 解 函数 其对称轴方程为 顶点坐标为 1 1 图象开口向上 如图 1 所示 若顶点横坐标在区间左侧时 有 此时 当时 函 数取得最小值 实用标准文案 精彩文档 图 1 如图 2 所示 若顶点横坐标在区间上时 有 即 当
12、 时 函数取得最小值 图 2 如图 3 所示 若顶点横坐标在区间右侧时 有 即 当 时 函数取得最小值 综上讨论 01 10 1 1 1 1 2 2 min tt t tt xf 图 8 例 3 已知 2 23f xxx 当 1 xtttR 时 求 f x 的最大值 解 由已知可求对称轴为 1x 1 当 1t 时 2 minmax 23 1 2f xf tttf xf tt 2 当 11tt 即0 1t 时 根据对称性 若 2 1 2 1tt 即 1 0 2 t 时 2 max 23f xf ttt 实用标准文案 精彩文档 若 2 1 2 1tt 即 1 1 2 t 时 2 max 1 2f
13、xf tt 3 当 11t 即 0t 时 2 max 23f xf ttt 综上 2 1 32 2 1 2 2 2 max ttt tt xf 观察前两题的解法 为什么最值有时候分两种情况讨论 而有时候又分三种情况讨论 呢 这些问题其实仔细思考就很容易解决 不难观察 二次函数在闭区间上的的最值总是在 闭区间的端点或二次函数的顶点取到 第一个例题中 这个二次函数是开口向上的 在闭区 间上 它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到 有三种可能 所以分 三种情况讨论 而它的最大值不可能是二次函数的顶点 只可能是闭区间的两个端点 哪个 端点距离对称轴远就在哪个端点取到 当然也就根据区间中
14、点与左右端点的远近分两种情况 讨论 根据这个理解 不难解释第二个例题为什么这样讨论 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下 当时 2 1 2 2 1 2 2 1 max 如图 如图 nm a b nf nm a b mf xf 2 2 2 2 5 4 3 min 如图 如图 如图 m a b mf n a b m a b f n a b nf xf 当时 2 2 2 2 8 7 6 max 如图 如图 如图 m a b mf n a b m a b f n a b nf xf f x f m b a mn f n b a mn min 如图 如图 2 1 2 2 1 2 9 10 实用标准文
15、案 精彩文档 3 轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化 即其图象是运动的 但定义域区间是固定的 我们称 这种情况是 动二次函数在定区间上的最值 例 4 已知 且 求函数的最值 解 由已知有 于是函数是定义在区间上的二次函数 将配方得 二次函数的对称轴方程是顶点坐标为 图象开口向上 由可得 显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上 函数的最小值是 最大值是 图 3 例 5 1 求 2 f x x2ax1在区间 1 2 上的最大值 2 求函数 axxy在 1 1 x上的最大值 解 1 二次函数的对称轴方程为xa 当 1 a 2 即 1 a 2 时 max f x f 2 4a5 当 1 a 2
16、即 1 a 2 时 max f x f 1 2a2 实用标准文案 精彩文档 综上所述 max 1 2a2 a 2 f x 1 4a5 a 2 2 函数 4 2 2 2aa xy图象的对称轴方程为 2 a x 应分1 2 1 a 1 2 a 1 2 a 即22a 2a和2a这三种情形讨论 下列三图分别为 1 2a 由图可知 max 1 f xf 2 a22 由图可知 max 2 a f xf 3 2a时 由图可知 max 1 f xf 2 1 22 2 2 1 af a a f af y最大 即 2 1 22 4 2 1 2 aa a a aa y最大 4 轴变区间变 二次函数是含参数的函数 而定义域区间也是变化的 我们称这种情况是 动二次函数 在动区间上的最值 例 6 已知 2 4 0 ya xaa 求 22 3 uxy 的最小值 解 将 2 4 ya xa 代入 u 中 得 实用标准文案 精彩文档 即 时 实用标准文案 精彩文档 即 时 实用标准文案 精彩文档 所以 二 逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值 求函数或区间中参数的取值 例 7 已知函数 2 21f xaxax在区间
