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1、第7章实用振动分析振型叠加法是求解线弹性多自由度体系动力反应的行之有效方法，在定前若干阶振型和自振频率之后，任何线性结构动力反应的近似解都容易求得。我们实际所面临的结构范围十分广泛，从只有几个自由度的高度简化数学模型、只需要考虑一、二阶模态就能求得动力反应的近似解，一到包含几百甚至数万个自由度的高度复杂的有限单元模型，其中可能50或100阶模态对结构动力反应有重要影响。要求解大型结构至要求阶数的振型和频率，完全利用行列式方程的解是困难的。从数学观点来看，求解各类结构的振型和自振频率属于矩特征值问题，自然地，可以利用矩阵特征值的求解技术来处理结构振和自振频率的求解问题。概述实用振动分析的内容 7
2、.1 Rayleigh法 7.2 Rayleigh-Ritz法 7.3 矩阵迭代法（基本模态的迭代法；高阶模态的迭代法） 7.4 Jacobi（雅可比）迭代法 7.5 子空间迭代法课堂教学中主要介绍Rayleigh法和Rayleigh-Ritz 法。7.1 Rayleigh法 Rayleigh法的基本原理是能量守衡定律。对任意的保守系统，其振动频率可以根据Rayleigh法由振动过程中的最大应变能与最大动能相等而求得。对于具有任意自由度的结构体系，用Rayleigh法求其基频有两种处理方式，一种是把结构看成连续体系，通过假设结构在基本模态中的变形形状和运动幅值（广义坐标）变化规律，将连续的结构
3、体系化为单自由度体系，利用振动过程中最大应变能与最大动能相等的原则求结构基频；另一种处理方式则是在多自由度离散坐标系中应用同样的方法求解结构基频。本节重点介绍Rayleigh法在多自由度离散坐标系中的原理和应用。由能量守衡定律() ()Tt Vt C+ =式中：T 体系在任一时刻的动能；V 体系在任一时刻的应变能。线弹性体系的最大动能等于最大应变max maxTV=线弹性体系的振动位移(,) ()sin( )uxt Ux t = +速度(,) () cos( )uxt Ux t = +&式中：U( x) 振型函数。体系的动能为222 20011() ()(,) cos( ) () ()22ll
4、Tt mx uxt dx t mxU xdx=+&体系最大动能为22max01() ()2lTmxUxd=体系的应变能（仅考虑弯曲变222 200 011 1() ( ,) sin ( ) ( )22 2ll lMV t dx EI u x t dx t EI U x dxEI = =+ 体系最大应变能为2max01()2lVEIUxdx=由此可求得结构的振动频率为22max01() ()2lTmxUxd=2max01()2lVEIUxdx=max maxTV=22020()() ()llEI U x dxmxU xdx=如果体系上还有n个集中质量m，2202201()() () ( )lnl
5、iiiEI U x dxmxU xdx mU x=+如果体系上只有n个集中质量m，不计分布质量，22021()()lniiiEIU x dxmU x=若假设振型与结构自振振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为结构自振频率的精确值。若假设振型与结构基本振型一致，则用Rayleigh法求得的频率为结构基频的精确值。理论上已证明：采用一个不太精确的假设振型通过Raleigh法得到的频率是一较为精确的基频近似值。不论什么样的初始振型，用Raleigh商所求得的近似频率将是基频的上限。一般情况下，最接近基本振型的假设振型是最易确定的。22020()() ()llEIU x dxmxU xdx=22
6、02201()() () ( )lnliiiEI U x dxmxU xdx mU x=+22021()()lniiiEI U x dxmU x=通常可取结构在某种静荷载（如集中荷载Pi或均布荷载q(x) ）作用下的挠曲线作为振型曲线。体系的最大应变能可用相应的外力功代替，即max max0111() ()22nliiiVW qxUxdx PU= +式中，q(x)和Pi为引起所设曲线U(x)的静力荷载。频0212201() ()() () ( )nliiinliiiqxUxdx PUmxU xdx mU x=+=+例7.1 用能量法计算图示两端固定梁的第一频率。设EI=常数，单位长度质量为。解
7、：用两种方法求解。(1) 设振型曲线为mABUxl m2() (1 cos )xUx Al=该式满足梁的几何边界条件，并满足弯矩边界条件，但不满足剪力边界条件。mlEIdxxUmdxxUEIdxxUxmdxxUEIllll44020202022316)()()()()( =mEIl222.8=精确值为，其误差为+1.9%。mEIl222.37=(2) 选择振型曲线为均布荷载作用下的弹性曲线ABUxl m44 32432() ( 2 )24ql x x xUxEIl l l=+该式满足梁的全部边界条件。20420()504()llqUxdxEIlmmU xdx =0212201() ()() (
8、) ( )nliiinliiiqxUxdx PUmxU xdx mU x=+=+mEIl222.45=精确值为，其误差为+0.4%。mEIl222.37=由以上结果可以看出所选的两种曲线，大部分或者全部满足边界条件（位移、内力），因此所得结果误差都很小；所选的第二种曲线所得的结果误差更小，因为它更接近第一振型。（考察曲线的边界条件）所得结果与精确值比较都偏大，这是能量法的特点。因为假设某一特定的曲线作为振型曲线，即相当于在体系上增加某些约束，从而增大了体系的刚度，因此所得的频率值将偏大。7.2 Rayleigh-Ritz 法虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的近似解，在动力分析中
9、，为得到足够精确的结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的振型。 Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振频率和自振振型。设振型函数（挠度函数）可用预先选定的m个独立函数（坐标函数）的线性组合来表示，即)(xi1() ()miiiUx a x=式中：ai待定常数。()ix的选取原则：满足体系的全部或部分边界条件，至少满足几何边界条件，且接近于第i振型函数Ui(x)。2202201()() () (
10、 )lnliiiEI U x dxmxU xdx mU x=+代入，并取极小值2202201()()0 ( 1, 2, , )() () ( )lnliiiiiEI U x dximaamxU xdx mU x=+L展开上式，并令分子等于0，有2202201()()0 ( 1,2, , )() () ( )lnliiiiiEI U x dximaamxU xdx mU x=+L2202201()() () ( )lnliiiEI U x dxmxU xdx mU x=+22 2 201() ()() ()nliiiEIU x dx mxU xdx mU x= =+ 令代入上式，得0)(d)()
11、(d)(d)()(d)()(122020201220=+=niiililliniiilxUmxxUxmaxxUEIxxUEIaxUmxxUxm0)(d)()(d)()(d)()(12202201220=+=niiilliniiilxUmxxUxmxxUEIaxUmxxUxm )(d)()(d)(1220220=+=niiillxUmxxUxmxxUEI 22 2222001 1() () ( ) () () () ( ) 0n nllii iii iimxUxdx mUx EIUxdx mxUxdx mUxa= = + + = 可0 ( 1,2, , )iima=L得到一组关于的线性齐次方程
12、(1,2,)iai m= L式中0( ) ( ) ( , 1,2, , )lij ji i jAA EIx xdx ij m = =L(1) (2) (1) (2)( , 1,2, , )ij ji ij ij ji jiB BBB BB ij m=+ =+ =L(1) (1)0() () () lij ji i jB Bmxxxdx=(2) (2)1()() nij ji k i k j kkB Bmxx=21( ) 0 ( 1,2, , )mij ij ijA Ba i m=L)(d)()(d)(1220220=+=niiillxUmxxUxmxxUEI 21( ) 0 ( 1,2, ,
13、)mij ij ijA Ba i m=L令上式的系数行列式等于零，即得频率方程为20 ( , 1,2, , )ij ijA Bijm= =L可得m 个固有频率的近似12 m L由于，上式求和符号内除第一项外，其余各项可略去，即),2,1(11211)()2()1()(niAirrnnnriLL=AAAA令i=n，并注意有A1n=1和，故1)(=rnA11211)()2()1(rrnnnAAA L于是),2,1(1)(niAiriL=A由上可见，虽然最初假定的变形形式包含所有的振型成分，但经过多次迭代以后，含有高阶振型的项都趋于零，即迭代结果收敛于第一振型。计算固有频率),2,1(11211)(
14、)2()1()(niAirrnnnriLL=AAAA对公式再迭代一次，则),2,1(11)1(211)1()()2()1()1(niAirrnrnnnriLL=+AAAAA令i=n，注意以及和A1n=1 ，可得11211)()2()1(rrnnnAAA L1)1(=+rnA)1(211+=rnA矩阵迭代法计算步骤1.选取初始迭代向量A(0)，使其最大的一个元素为一；2.对A(0)作矩阵迭代，并使新向量 A(1)归一化，即 )0()1( ADA = )1()1()1(max1AAA =3.重复步骤2，第r 次迭代结果为 )1()(=rrADA )()()(max1 rrrAAA =4.当相邻两次的迭代结果相近，满足，停止迭代 )1()( =rrAA得到第一阶振型 )1()(1=rrAAA7.3.2 用矩阵迭代法求高阶频率和振型高阶模态迭代法与基本模态迭代方法的基本公式相同。不同的是在每次迭代中，需要消除已获得的低阶模态分量。例如用矩阵迭代法求第二频率和相应的振型，则应令中1=0，亦即使所假定的振动形式不包含第一振型分量，
