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1、福建省泉州第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题（考试时间120分钟，总分150分）命题：陈惠彬 审题：邱形贵第卷（选择题 共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的1已知为虚数单位,则复( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.若角的终边在第二象限且经过点，则等于BCD下列说法错误的是（ ）A已知函数，则是函数 B，的夹角为，则“”是“”的C若命题,则 D的三个内角、的对边的长分别为、， 若 、成等差数列 4.设向量,若,则等于BCD3设是上的奇函数当时, 则等于? A.? ?B. C. D.6.
2、已知则向量的夹角为BCD函数的部分图像是8.设函数，以下关于的导函数说法正确的有（ ）其图像可由 向左平移 得到； 其图像关于直线对称；其图像关于点对称； 在区间上是增函数BCD已知函数的图象关于对称,且当成立若,则a,b,c的大小关系是（ ）ABCD A. 0B. 1C. 2D. 3第卷（非选择题 共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分将答案填在答题卡的相应位置11如图，已知幂函数的图象过点， 则图中阴影部分的面积等于 . 12.已知函数则,则实数的值等于.13.在,且的面积为,则的长为.14已知函数有三个不等实根则的取值范围是 .15若对意为关于x、y的二元函数.现定义
3、满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”(1)非负性:时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号:;能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是_.已知函数的定义域为A，函数的值域为B.（I）求；（II）若，且，求实数的取值范围.已知函数的图像经过点.()求函数的解析式及最大值；()若，求的值.()请将从甲地到乙地的运输成本错误！未找到引用源。（元）表示为航行速度错误！未找到引用源。（海里/小时）的函数； ()要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？19(本小题满
4、分13分)已知函数在区间上单调递增在区间上单调递减中、分别为内角对的边，且满足（）证明：；（）是外一点，设，时，求四边形面积的最大值已知函数.()求函数的x=1处的切线方程;()求证:存在,使;()对于函数与定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得和都成立,则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.（）（本小题满分7分) 选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）（）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（）若直线经过点，
5、求直线被曲线截得的线段的长（）（本小题满分7分) 选修45：不等式选讲已知数满足（）求的；（）若不等式对一切数恒成立，求实数的取值范围已知为虚数单位,则复( D )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.若角的终边在第二象限且经过点，则等于BCD下列说法错误的是（）A已知函数，则是函数 B，的夹角为，则“”是“”的C若命题,则 D的三个内角、的对边的长分别为、， 若 、成等差数列 4.设向量,若,则等于BCD3设是上的奇函数当时, 则等于? A.? ?B. C. D.6.已知则向量的夹角为BCD函数的部分图像是8.设函数，以下关于的导函数说法正确的有（B）其图像可由 向左平移 得到；
6、 其图像关于直线对称；其图像关于点对称； 在区间上是增函数BCD已知函数的图象关于对称,且当成立若,则a,b,c的大小关系是（）ABCD A. 0B. 1C. 2D. 3第卷（非选择题 共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分将答案填在答题卡的相应位置11如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于 . 12.已知函数则,则实数的值等于-3或l.13.在,且的面积为,则的长为 .14已知函数有三个不等实根则的取值范围是 .15若对意为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数x、y的广义“距离”(1)非负性:时取等号;(2)对称性:;(3)三角形不等
7、式:对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号:;能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是_.已知函数的定义域为A，函数的值域为B.（I）求；（II）若，且，求实数的取值范围.解：（）由题意得： 2分 4分 分（II）由（1）知：，又（1）当时，,，满足题意.分（2）当即时，要使，则 分解得 分综上， 分已知函数的图像经过点.()求函数的解析式及最大值；()若，求的值.17. 解：（）， ，3分 ，所以当，即时，取最大值. 6分 () ， ，8分 ， ， ， 10分 . 13分故当货轮航行速度为0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少1分（
8、）解法2：由（） 错误！未找到引用源。8分 错误！未找到引用源。故当货轮航行速度为0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少 1分 4分6分（2）因为，所以，所以为等边三角形 8分,， 当且仅当即时取最大值,的最大值为13分20(本小题满分14分)已知函数.()求函数的x=1处的切线方程;()求证:存在,使;()对于函数与定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得和都成立,则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.解:()x=1时，切点坐标为（1，-2），切线斜率为，此时切线方程为： 3分()由() 令解得 令解得. 知在(
9、0,1)内单调递增,在上单调递减,令 取则 故存在使即存在使 分(说明:的取法不唯一,只要满足且即可)()设则则当时,函数单调递减;当时,函数单调递增.是函数的极小值点,也是最小值点, 函数与的图象在处有公共点(). 分设与存在“分界线”且方程为,令函数由,得在上恒成立,即在上恒成立, 即, ,故11分下面说明:, 即恒成立.设则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,当时,取得最大值0,.成立.综合知且故函数与存在“分界线”, 此时 分（）（本小题满分7分) 选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）（）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长解法一：（）由得，即曲线的直角坐标方程为 3分（）由直线经过点，得直线的直角坐标方程是，联立，消去，得，又点是抛物线的焦点，由抛物线定义，得弦长 7分解法二：（）同解法一 3分（）由直线经过点，得，直线的参数方程为将直线的参数方程代入，得所以 7分（）（本小题满分7分) 选修45：不等式选讲已知数满足（）求的；（）若不等式对一切数恒成立，求实数的取值范围（）由柯西不等式，即，当且仅当即，时，取得最大值3分（）由（）得，不等式对一切数恒成立，当且仅当成立，即或解得，或，所以实数的取值范围是 分第19题图
