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1、福建省莆田第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设k1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是 ( ) A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆 C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线2.关于x的不等式ax2-ax+10恒成立的一个必要不充分条件是 ( ) A.0(a4 B.04或ab0)上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是+=1.求证:直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标.()是否存在实数,使得|AC|+|BC|
2、=|AC|BC|恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.16.(本小题满分12分)解：命题p：1-a2x0在上恒成立. 即：在上恒成立. , 即命题, 3分命题q：(x(R,ax2-x+a0.显然当时,不合题意,则:即命题, 7分p或q为真,p且q为假p和q一真一假,或即 11分a的取值范围为：. 12分1.(本小题满分14分)解：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设 1分(1)证明：连结AC,AC交BD于G.连结EG.依题意得底面ABCD是正方形, G是此正方形的中心,故点G的坐标为且即PA/EG.而平面EDB且平面EDB,PA/平面EDB. 5分
3、(2)证明：依题意得.又故 , 由已知,且所以平面EFD. 9分1.(本小题满分12分)解：(1)E的半径r=1E的方程为(x-1)2+y2=1,由题意动圆M与E及y轴都相切,分以下情况：作MHy轴于H,则|MF|-1=|MH|,即|ME|=|MH|+1,过M作直线x=-1的垂线MN,N为垂足,则|MF|=|MN|,点M的轨迹是以E为焦点,x=-1为准线的抛物线,点M的轨迹C的方程为y2=4x(x0). 6分(2)当l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,sin+sin=+
4、=+=1当l与x轴垂直时,也可得sin+sin=1, 11分综上,有sin+sin=1. 12分19.(本小题满分14分)解：(1)设抛物线M：y2=2px(p0),则有=2p(x(0)据此验证4个点知(3,-2),(4,-4)在抛物线上,N的标准方程为y2=4x2分设M：+=1(ab0),把点(-2,0),(,)代入得：,解得M的标准方程为+y2=1 分(2)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,则SABC=1当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,联立得,消y得x2=不妨设B(,),C(-,-),|BC|= 9分点A到直线BC的距离d=SABC=|BC|(d= 12分令t=,则4tk
5、2-4k+t=0,由k=16-16t2(0得-1(t(1当=-1时,面积取得最大值,此时k=-.综上所述,当直线的方程为y=-x时,ABC的面积取得最大值 14分20. (本小题满分14分)(I)证明：平面平面,平面平面=,平面.平面,2分又为圆的直径,平面. 3分平面,平面平面. 4分(II)根据()的证明,有平面,为在平面内的射影,因此,为直线AB与平面所成的角 6分,四边形为等腰梯形,过点F作,交AB于H.,则.在中,根据射影定理,得. 8分,.直线AB与平面所成角的大小为. 9分()设中点为,以为坐标原点,、方向分别为轴、轴、 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设,则点的坐标为则,又 10分设平面的法向量为,则,.即 令,解得 12分由(I)可知平面,取平面的一个法向量为,依题意 与的夹角为 ,即, 解得t=当AD的长为时,面DFC与面FCB所成的锐二面角的大小为60(14分21. (本小题满分14分)解： (I)设椭圆方程为+=1(ab0).抛物线的焦点是,故,又,所以,所以所求的椭圆方程为
